Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Теория рядов

Пусть дана числовая последовательность .

Последовательность задана, если задана ее рекуррентная формула, то есть задан ее общий член .

Например, ,

Тогда последовательность имеет вид

Соединим знаком все числа последовательности. В результате получим выражение

.

Это выражение будем называть бесконечным числовым рядом. Тогда ряд считается заданным, если задана рекуррентная формул соответствующей последовательности, или задан его общий член .

Например,

Обозначим за - частичная сумма первых 2-х членов,

- частичная сумма первых 3-х членов,

- частичная сумма первых n-х членов,

Определение Если частичных сумм ряда сходится, то есть существует конечный предел , то ряд сходящийся. В противном случае, если или предел не существует, то ряд расходящийся.

Если все члены ряда положительные, то ряд – положительный.

Признай Даламбера.

Пусть для положительного ряда существует предел , Тогда справедливы утверждения:

а) если , то ряд сходится

б) если , то ряд расходится

Например,

рад сходится.

Определение Ряд называется знакопеременным, если он имеет бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов.

Определение Ряд называется знакочередующимся, если для любого члены ряда и имеет разные знаки, то есть

Определение Ряд называется условно сходящимся если абсолютный ряд расходится , а исходный сходится.

Признак Лейбница

Пусть для знакочередующегося ряда выполнены условия:

1) последовательность является невозрастающей

2) ,

тогда ряд сходится.

Например,

1)

2)

Значит, ряд сходится.

Определение Ряд вида называется степенным.