Читайте также:
|
|
В предположении, что обслуживание заявок также подчиняется экспоненциальному закону распределения
, (4)
процесс функционирования одноканальной СМО можно описать с помощью функции вероятности Pn(t) - вероятности того, что в произвольный момент времени t > 0 в системе имеется ровно n заявок, n = 0, 1,...
В предположении, что в момент времени t = 0 в системе заявок нет, следовательно, P0(0) = 1, для функции Pn(t) получаются дифференциальные уравнения [1, 9]
(5)
Установившееся решение можно получить из этой системы, полагая в ней = 0 при t → ∞ и ρ = λ/μ < 1. Это решение получается в виде
(6)
Выражение (6) позволяет оценить ряд важных характеристик работы одноканальной СМО, а именно:
- среднее число заявок в системе
; (7)
- средняя длина очереди (среднее число заявок в накопителе)
(8)
- среднее время обслуживания каждой заявки
Тоб = 1/μ; (9)
- среднее время пребывания заявки в системе
Тпр = 1/(μ - λ). (10)
Основанием для формулы (10) служит тот факт, что время пребывания заявок в системе подчиняется закону распределения
f(tпр) = (μ - λ)e-(μ - λ)tпр; (11)
- среднее время ожидания заявок в очереди
Тож = Тпр - Тоб = 1/(μ - λ) - 1/ μ = ρ/μ(1 - ρ); (12)
- коэффициент загрузки прибора (или канала)
Кз = λ/μ. (13)
При машинном моделировании одноканальной СМО накапливается большой объем статистических данных. Их обработка позволяет получить эмпирические оценки приведенных выше характеристик, которые являются случайными величинами и зависят от количества обслуженных заявок (количества прогонов машинной модели). Для практических целей важно, чтобы построенные оценки удовлетворяли требованию
, (14)
где – выборочная оценка величины μ, P0 – доверительная вероятность, ε – точность оценивания. Эмпирическая оценка находится по формуле
(15)
а эмпирическая дисперсия оцениваемой величины определяется по формуле
. (16)
В этих формулах xi – реализации случайной величины, N – количество реализаций (объем выборки).
Из теории статистических выводов известно [6], что когда распределение стандартизованной переменной далеко от нормального распределения, при построении доверительного интервала используется t – распределение Стьюдента, а (1 - α) 100% доверительный интервал для среднего значения выборки определяется с помощью формулы
, (17)
т. е. считается, что с доверительной вероятностью P0 = 1 - α выполняется неравенство
, (18)
где – стандартизованная t - статистика (точнее, квантиль распределения) для υ = N - 1 степеней свободы, выше которой лежит (α /2)100% площади t – распределения. Таким образом, доверительный интервал составляет
. (19)
Считается, что при N ≥ 30 t – распределение тождественно нормальному закону распределения, поэтому в формулах (17) – (19) можно, вместо величины , использовать значения Uα для стандартизованного нормального распределения. Значения квантиля Uα в зависимости от уровня значимости α приведены в таблице.
Таблица значений Uα
a | 0,15 | 0,1 | 0,05 | 0,025 | 0,01 | 0,005 |
Uα | 1,0364 | 1,2816 | 1,6449 | 1,9600 | 2,3263 | 2,5758 |
Эти значения означают, что, например, площадь справа от Uα = 1,9600 (или слева от Uα = - 1,9600) составляет α = 0,025, а площадь справа от Uα = 1,6449 - соответственно 0,05.
При N ≥ 30 соотношение (14) позволяет оценить величину N*, обеспечивающую заданную точность оценивания ε для совокупности, не являющейся нормальной. Эта связь дается формулой
(20)
и равна
.
Многоканальная СМО рассматривается как математическая схема (Q - схема) для моделирования процесса функционирования системы обслуживания, в которой имеются несколько независимых каналов (приборов, устройств) обслуживания. Типовая схема такой системы изображена на Рис.3.1.
Как и в одноканальной системе, предполагается, что заявки поступают на вход системы в случайные моменты времени , …, и при наличии свободных каналов они непосредственно обслуживаются. В противном случае заявки попадают в накопитель (в очередь) и обслуживаются в порядке их построения.
В предположении, что на входе СМО действует простейший поток заявок с пуассоновским распределением, а время обслуживания распределено по экспоненциальному закону с интенсивностью можно построить аналитическую модель многоканальной СМО и оценить основные характеристики ее работы.
Пусть, как и выше, - вероятность того, что в произвольный момент времени t в системе имеется равно n заявок, n = 0, 1, 2, … Из теории массового обслуживания известно, что величина подчиняется дифференциальному уравнению [1, 9]
В этих формулах m - число обслуживающих каналов.
Установившееся решение можно получить из этой системы, полагая в ней при :
Эти соотношения позволяют вывести следующие формулы для :
где . Так как сумма всех вероятностей равняется единице, для P0 получим:
С помощью этих формул можно рассчитать основные характеристики работы системы в установившемся режиме:
- вероятность простоя системы - ;
- вероятность занятости всех каналов (вероятность наличия в системе заявок)
(21)
- вероятность наличия в очереди ровно М заявок
(22)
- среднее количество свободных от обслуживания каналов
(23)
- коэффициент простоя
(24)
- коэффициент загрузки каналов (или системы)
(25)
- средняя длина очереди
(26)
- среднее число заявок в системе
(27)
где - среднее
число обслуженных заявок;
- среднее время ожидания заявок в очереди
(28)
- среднее время обслуживания заявок
(29)
- среднее время пребывания заявок в системе
(30)
где вычисляется по формуле (28)
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 19 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |