Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Характеристики СМО

Читайте также:
  1. I. Клинико - эпидемиологические характеристики геморрагических лихорадок и геморрагической лихорадки с почечным синдромом.
  2. I. Сущность общественного мнения, его характеристики и проблемы изучения.
  3. II. Практическое задание №1. Ряды распределений и их характеристики
  4. IV. Энергетические характеристики атомов.
  5. Quot; Русская правда" как источник для характеристики социально-правовой структуры древнерусского общества.
  6. V.ХАРАКТЕРИСТИКИ САМОАКТУАЛИЗИРУЮЩИХСЯ ЛЮДЕЙ
  7. Акции: определение, характеристики, удостоверяемые права
  8. Антикризисный менеджмент. Характеристики антикризисного управления
  9. Билет 5: Основные характеристики правового государства
  10. Билет№9 Популяции. Статистические характеристики популяций (численность и биомасса популяций, возрастной и половой состав).

В предположении, что обслуживание заявок также подчиняется экспоненциальному закону распределения

 

, (4)

 

процесс функционирования одноканальной СМО можно описать с помощью функции вероятности Pn(t) - вероятности того, что в произвольный момент времени t > 0 в системе имеется ровно n заявок, n = 0, 1,...

В предположении, что в момент времени t = 0 в системе заявок нет, следовательно, P0(0) = 1, для функции Pn(t) получаются дифференциальные уравнения [1, 9]

 

(5)

 

Установившееся решение можно получить из этой системы, полагая в ней = 0 при t → ∞ и ρ = λ/μ < 1. Это решение получается в виде

(6)

 

Выражение (6) позволяет оценить ряд важных характеристик работы одноканальной СМО, а именно:

- среднее число заявок в системе

 

; (7)

 

- средняя длина очереди (среднее число заявок в накопителе)

 

(8)

 

- среднее время обслуживания каждой заявки

 

Тоб = 1/μ; (9)

 

- среднее время пребывания заявки в системе

 

Тпр = 1/(μ - λ). (10)

 

Основанием для формулы (10) служит тот факт, что время пребывания заявок в системе подчиняется закону распределения

 

f(tпр) = (μ - λ)e-(μ - λ)tпр; (11)

- среднее время ожидания заявок в очереди

 

Тож = Тпр - Тоб = 1/(μ - λ) - 1/ μ = ρ/μ(1 - ρ); (12)

 

- коэффициент загрузки прибора (или канала)

 

Кз = λ/μ. (13)

 

При машинном моделировании одноканальной СМО накапливается большой объем статистических данных. Их обработка позволяет получить эмпирические оценки приведенных выше характеристик, которые являются случайными величинами и зависят от количества обслуженных заявок (количества прогонов машинной модели). Для практических целей важно, чтобы построенные оценки удовлетворяли требованию

 

, (14)

 

где – выборочная оценка величины μ, P0 – доверительная вероятность, ε – точность оценивания. Эмпирическая оценка находится по формуле

 

(15)

 

а эмпирическая дисперсия оцениваемой величины определяется по формуле

. (16)

 

В этих формулах xi – реализации случайной величины, N – количество реализаций (объем выборки).

Из теории статистических выводов известно [6], что когда распределение стандартизованной переменной далеко от нормального распределения, при построении доверительного интервала используется t – распределение Стьюдента, а (1 - α) 100% доверительный интервал для среднего значения выборки определяется с помощью формулы

 

, (17)

 

т. е. считается, что с доверительной вероятностью P0 = 1 - α выполняется неравенство

 

, (18)

 

где – стандартизованная t - статистика (точнее, квантиль распределения) для υ = N - 1 степеней свободы, выше которой лежит (α /2)100% площади t – распределения. Таким образом, доверительный интервал составляет

. (19)

 

Считается, что при N ≥ 30 t – распределение тождественно нормальному закону распределения, поэтому в формулах (17) – (19) можно, вместо величины , использовать значения Uα для стандартизованного нормального распределения. Значения квантиля Uα в зависимости от уровня значимости α приведены в таблице.

 

Таблица значений Uα

a 0,15 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005
Uα 1,0364 1,2816 1,6449 1,9600 2,3263 2,5758

 

 

Эти значения означают, что, например, площадь справа от Uα = 1,9600 (или слева от Uα = - 1,9600) составляет α = 0,025, а площадь справа от Uα = 1,6449 - соответственно 0,05.

При N ≥ 30 соотношение (14) позволяет оценить величину N*, обеспечивающую заданную точность оценивания ε для совокупности, не являющейся нормальной. Эта связь дается формулой

 

(20)

и равна

.

Многоканальная СМО рассматривается как математическая схема (Q - схема) для моделирования процесса функционирования системы обслуживания, в которой имеются несколько независимых каналов (приборов, устройств) обслуживания. Типовая схема такой системы изображена на Рис.3.1.

Как и в одноканальной системе, предполагается, что заявки поступают на вход системы в случайные моменты времени , …, и при наличии свободных каналов они непосредственно обслуживаются. В противном случае заявки попадают в накопитель (в очередь) и обслуживаются в порядке их построения.

В предположении, что на входе СМО действует простейший поток заявок с пуассоновским распределением, а время обслуживания распределено по экспоненциальному закону с интенсивностью можно построить аналитическую модель многоканальной СМО и оценить основные характеристики ее работы.

Пусть, как и выше, - вероятность того, что в произвольный момент времени t в системе имеется равно n заявок, n = 0, 1, 2, … Из теории массового обслуживания известно, что величина подчиняется дифференциальному уравнению [1, 9]

 

В этих формулах m - число обслуживающих каналов.

Установившееся решение можно получить из этой системы, полагая в ней при :

 

Эти соотношения позволяют вывести следующие формулы для :

 

 

где . Так как сумма всех вероятностей равняется единице, для P0 получим:

 

 

С помощью этих формул можно рассчитать основные характеристики работы системы в установившемся режиме:

- вероятность простоя системы - ;

- вероятность занятости всех каналов (вероятность наличия в системе заявок)

 

(21)

 

- вероятность наличия в очереди ровно М заявок

 

(22)

- среднее количество свободных от обслуживания каналов

 

(23)

 

- коэффициент простоя

 

(24)

 

- коэффициент загрузки каналов (или системы)

 

(25)

 

- средняя длина очереди

 

(26)

 

- среднее число заявок в системе

 

(27)

 

где - среднее

число обслуженных заявок;

- среднее время ожидания заявок в очереди

 

(28)

 

- среднее время обслуживания заявок

 

(29)

 

- среднее время пребывания заявок в системе

 

(30)

 

где вычисляется по формуле (28)

 




Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 19 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.014 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав