Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Доказательство. Обозначим исходы, благоприятные для события А, через а1,а2, ,аm, а для события В – через b1,b2, ,bn

Обозначим исходы, благоприятные для события А, через а₁,а₂,…,а_m, а для события В – через b₁,b₂,…,b_n. Вероятности этих исходов обозначим соответственно через p₁,p₂,…,p_m и q₁,q₂,…,q_n. Тогда событию A U B благоприятны все исходы a₁,a₂,…,a_m, b₁,b₂,…,b_n. В силу того что события А и В несовместны, среди этих исходов нет повторяющихся. Поэтому вероятность события А U B равна сумме вероятностей этих исходов. т.е.

P (A U B)=p₁+p₂+…+p_m+q₁+q₂+…+q_n.

Но p₁+p₂+pm= P (A), q₁+q₂+q_n= P (B), а потому

P(A U B)=P(A)+P(B).

Теорема доказана.

Пример 1. Стрелок стреляет в мишень. Вероятность выбить 10 очков равна 0,3, а вероятность выбить 9 очков равна 0,6. Чему равна вероятность выбить не менее 9 очков?

Решение. Событие А «выбить не менее 9 очков» является объединением событий В - «выбить 10 очков» и С – «выбить 9 очков». При этом события В и С несовместны, так как нельзя одним выстрелом выбить сразу и 9, и 10 очков.

Поэтому по теореме 1 имеем:

P(A)=P(B)+P(C)=0,3+0,6=0.9.

Если события А₁, А₂, …,А_n попарно несовместны, то событие A₁ U … U A_n-1 несовместно с событием A_n. В самом деле,

(A₁U…UA_n-1) I A_n =(A₁A_n)U…U(A_n-1  A_n).

Но при s<n имеем A_s A_n =, и потому (A₁ U … U _An-1)A_n =. Пользуясь этим замечанием, получаем из теоремы 1 следствие:

Следствие. Если события А₁,…, А_n попарно несовместны, то вероятность объединения этих событий равна сумме их вероятностей:

P(A₁U…UA_n)=P(A₁)+ … +P(A_n).

Доказательство. Как было отмечено выше, события A1U … UAn-1 и An несовместны, а потому по теореме 1имеем:

P(A₁U…UA_n-1UA_n)=P(A1U…UAn-1)+P(An).

Применяя это же рассуждение к первому слагаемому и продолжая далее, получаем после n-1 шага, что

P(A₁U … UA_n)=P(A₁)+…+P(A_n).

Пример 2. В цехе работает несколько станков. Вероятность того, что за смену потребует наладки ровно один станок, равна 0,2. Вероятность того, что за смену потребуют наладки ровно два станка, равна 0,13. Вероятность того, что за смену потребуют наладки больше двух станков, равна 0,07. Какова вероятность того, что за смену придётся проводить наладку станков?

Решение. В том примере опыт состоит в том, что прошла смена и отмечено, сколько станков за эту смену потребовало наладки. В этом опыте события: А – «за смену потребовал наладки ровно один станок», В – «за смену потребовали наладки ровно два станка» и С – «за сену потребовали наладки более двух станков» несовместны. Нас же интересует вероятность события A U B U C. По теореме 1: P(A U B U C)=P(A)+P(B)+P(C)=0,2+0,13+0,07=0,4.

Выведем теперь связь между вероятностями противоположных событий.

Теорема 2. Для любого события А имеем: P(A*)=1-P(A).

Для доказательства вспомним, что AUA*= U, P(U)=1 и A  A*. Тогда по теореме 1 получаем: 1=P(U)=P(AUA*)=P(A)+P(A*), откуда следует требуемая формула.

Пример 3. Берётся наудачу трёхзначное натуральное число от 100 до 999. Какова вероятность того, что хотя бы две его цифры совпадают?

Решение. Опыт здесь состоит в том, что наудачу выбирается натуральное число от 100 до 999 и смотрят, есть ли у негосовпадающие цифры. События «взяли наудачу число N» (N= 100, 101, …, 999) равновероятны (в этом смысл слова «наудачу») и образуют множество исходов этого опыта. Число исходов n=900. Нас интересует событие А -«у выбранного числа совпадают хотя бы две цифры». Проще, однако, подсчитать вероятность противоположного события А* - «у выбранного числа все цифры различны». Каждое такое число есть размещение без повторений из 10 цифр по 3, не имеющее первым элементом нуль. Следовательно, m =(A₁₀)³ –(A₉)²=10 ^. 9 ^. 8—9 ^. 8=9₂ ^. 8 (из числа всех трёхэлементных размещений без повторений надо вычесть число тех, у которых на первом месте стоит нуль) и P(A*)=9^2. 8/900=0,72. Тогда по

теореме 2 P(A)=1-P(A*)=0,28.

Пример 4. В урне, содержащей n шаров белого, красного и чёрного цвета, находится k белых шаров и L красных. Какова вероятность вынуть шар не чёрного цвета?

Решение. Если событие А состоит в появлении белого, а событие В – красного шара, то появление шара не чёрного цвета означает появление либо белого, либо красного шара. Так как по определению вероятности

P (A)=k/n, P (B)=L/n,

То по теореме сложения вероятность появления шара не чёрного цвета равна: P (A U B)=k/(n+L)/n=(k+L)/n.

Эту задачу можно решить и так. Пусть событие С состоит в появлении чёрного шара. Число чёрных шаров равно n –(k+L), так что P(C)=(n—k—L)/n. ₃

Появление шара не чёрного цвета является противоположным событием С*, поэтому на основании указанного выше следствия из теоремы сложения имеем: P(C*)=1—P(C)=1—(n—k—L)/n=(k+L)/n, как и раньше.

Пример 5. В денежно – вещевой лотерее на серию в 1000 билетов приходится 120 денежных и 80 вещевых выигрышей. Какова вероятность какого – либо выигрыша на один лотерейный билет?

Решение. Если обозначить через А событие, состоящее в выпадении денежного выигрыша, и через В — вещевого, то из определения вероятности следует P(A) =120/1000=0,12; P(B) =80/1000=0,08. Интересующее нас событие представляет (AUB), поэтому из теоремы сложения вытекает:

P(AUB)=P(A)+P(B)=0,20.

Таким образом, вероятность какого – либо выигрыша равна 0,2.