Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Проверка гипотез. Лемма Неймана-Пирсона.

Читайте также:
  1. VII. Проверка готовности формирований
  2. VII. Проверка долговечности подшипников
  3. Аудиторская проверка забалансовых операций банка с ценными бумагами
  4. Аудиторская проверка инвентаризации материальных ценностей банка
  5. Аудиторская проверка капитальных вложений
  6. Аудиторская проверка расчетов организации с покупателями и заказчиками.
  7. Аудиторская проверка расчетов с бюджетом по налогу на прибыль.
  8. Билет №79. Гипотеза. Виды гипотезы. Доказательства и проверка.
  9. Взаимопроверка.
  10. Вопрос 5 Основные структурные компоненты эукариот. Плазмалемма, цитоплазма, ядро. Органоиды, включения.

Гипотезы. Пусть X1,…, Xn – выборка с распределением F(X,O), где O Є Ξ Є R. В этом случае любое Ξ0 Є Ξ соответствует гипотезе: Ξ0 à H0: O Є Ξ0 – основная гипотеза, Ξ1 à H1: O Є Ξ1 – альтернатива, Ξ0 ∩ Ξ1 – пустое. Гипотеза Ξ0 называется простой, если она состоит из одной точки O0 и сложной в противном случае. Пусть h(X) = h(X1,…,XN): 0<=h(X)<=1 – критическая функция, при этом по определению h(X) – вероятность отвергнуть основную гипотезу при выборке X1…Xn, Ошибкой первого рода - H0 верна, но мы её отвергаем. Ошибка второго рода – наоборот. Вероятность ошибки первого рода: EOh(X) = a(O), O Є Ξ0. Функцией мощности называется b(O) = EOh(X), O Є Ξ1 – вероятность принятия правильного решения, в случае верности альтернативной гипотезы. Вероятность ошибки второго рода - 1- b(O). Если критерий не принимает иных значений, кроме 0 и 1, то он называется нерандомизированным, если есть хотя бы одно значение между 0 и 1, то он рандомизированный. Размер критерия – наибольшая вероятность ошибки первого рода max<O Є Ξ0>a(O) = a. Критерий называется равномерно наиболее мощным критерием размерности a, если 1) max<O Є Ξ0>EOh(X) = a; 2) для любого критерия h* той же размерности a и для любого O Є Ξ1 è EOh(X) >= EOh*(X). Лемма Неймана-Пирсона: Пусть выборка X1,…,Xn – имеет функцию распределения F(X, O), где O Є Ξ Є R и функцию правдоподобия L(X, O). Введем класс Q критических функций: относительно двух простых гипотез H0: O = O0, H1: O = O1 ≠ O0, 0 < a < 1, где a – заданный размер критерия, Ka – некоторое значение: Q = {h: h(X) = {1, L(X, O1)/L(X, O0) > Ka; 0, L(X, O1)/L(X, O0) < Ka}}. Отметим, что класс включает в себя все функции, удовлетворяющие указанным условиям и принимающие при L(X, O1)/L(X, O0) = Ka – любые значения. Отметим так же, что для разных значений Ka соответствующе классы Q могут быть разными. Тогда: 1) для любого 0 < a< 1 è существует h Є Q: EO0h(X) = a (Существует критерий любого размера). 2) Если h Є Q и EO0h(X) = a, то h – наиболее мощный критерий. 3) Если h – наиболее мощный критерий размера a, то h Є Q. (Док-во: ушаков со страницы 67, огромное атас).

24. Критерии согласия Колмогорова и χ - квадрат.

Выборка X1,…,Xn имеет распределение F(x) из семейства распределений J = {F(x)}. Требуется проверить гипотезу H0: F(x) = F0(x). Непараметрический критерий Колмогорова основан на статистике: Dn(X) = sup<X>|Fn(x) – F0(x)|, F0(x) – непрерывная функция распределения, а Fn(x) – эмпирическая функция распределения, построенная по выборке X1,…Xn. Из того, что если ξ – случайная величина, Fξ(x) - непрерывна, то случайная величина η = Fξ(ξ) равномерно распределена на [0, 1], следует что при F0(x) = t вероятность P(Dn(X) < t) не зависит от O и F0(x). Т Колмогорова: для любой непревной функции F(x), x >0 выполняется lim<nàinf>P(sqr<2>(n)Dn(X) < t) = K(t) = Σ<-inf, inf>(-1)^je^(-2j^2t^2). На основе этого предельного соотношения строится непараметрический критерий Колмогорова. Пусть ja – a-квантиль предельного распределения K(t). Тогда 1- K(ja) = a или P(sqr<2>(n)Dn(X)>=ja|H0 = a). Тогда гипотеза о том, что выборка взята из распределения с функцией F0(x) принимается, если sqr<2>(n)Dn(X) <= ja и не принимается иначе. Уровень значимости этого критерия примерно a. Критерий y-квадрат. Пусть имеется выборка X1,…,Xn и требуется проверить гипотезу H0: F(x) = F0(x). Разобьем числовую прямую на m промежутков. Обозначим vk – число наблюдений попавших в дk. Тогда если ξi(k) = I(Xi Є дk), то vk = Σ<i=1, n>ξi(k). При этом имеет место сходимость vk/n à<nàinf>P(X1 Є дk) = $<дk>dF0(x) = pk. Строится статистика y^2 = Σ<i=1, m>(vi-npi)^2/npi. Если фиксировать a – вероятность ошибки первого рода, то гипотеза H0 отвергается, если Y^2 > a и принимается в противном случае. При этом Ka ищется из P(Y^2 > Ka|H0) = a. Для решения уравнения используется следующее предельное соотношение: lim<nàinf>P(Y^2 < t) = Gm-1(t), где Gm-1(t) – функция распределения Y^2 с m-1 степенью свободы. При этом по определению случайная величина ξ имеет распределение Y-квадрат с k степенями свободы, если P(ξ < t) = P(η1^2+…+ηk^2 < t), ηi ~ N(0, 1). Плотность этого распределения определяется формулой p(x) = {e^(-x/2)x^(n/2 – 1)/2^(n/2)Г(n/2) x>0; 0, x <= 0} и является частным случаем Г-распределения p(x, L, a) = {a^Lx^(L-1)e^(-ax)/Г(L), x > 0; 0, x<= 0} при a= ½, L = n/2.

 

 

Билеты по курсу «теория вероятностей и математическая статистика»

 

Билет 1.

 

1. Вероятностное пространство. Операции над событиями. Свойства вероятности.

2. Критерии согласия Колмогорова и χ - квадрат.

 

Билет 2.

 

1. Условная вероятность. Независимость событий. Критерий независимости. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

2. Проверка гипотез. Лемма Неймана-Пирсона.

 

Билет 3.

 

1. Случайные величины. Критерии измеримости функций от случайных величин.

2. Доверительные интервалы. Методы центральной случайной величины и использования точечной оценки.

 

Билет 4.

 

1. Функция распределения, ее свойства. Дискретные, сингулярные и абсолютно непрерывные функции распределения и случайные величины. Плотность распределения. Теорема Лебега о разложении функции распределения.

2. Метод моментов. Свойства оценок, полученных методом моментов.

 

Билет 5.

 

1. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, моменты, квантили, медиана. Их свойства.

2. Метод максимального правдоподобия. Свойства оценок максимального правдоподобия.

 

Билет 6.

 

1. Числовые характеристики случайных величин: дисперсия, ковариация, коэффициент корреляции. Их свойства.

2. Теорема Рао-Блекуэлла-Колмогорова. Оптимальность оценок являющихся функцией полной достаточной статистики.

 

Билет 7.

 

1. Совокупности случайных величин, случайные векторы. Совместная функция распределения. Независимость случайных величин. Критерии независимости.

2. Неравенство Рао-Крамера. Эффективные оценки.

 

Билет 8.

 

1. Виды сходимости последовательностей случайных величин.

2. Функция правдоподобия. Достаточные статистики, полные статистики. Критерий факторизации.

 

Билет 9.

 

1. Неравенства Маркова и Чебышева. Закон больших чисел в форме Чебышева.

2. Точечная оценка. Несмещенность, состоятельность.

 

Билет 10.

 

1. Неравенство Иенсена.

2. Порядковые статистики. Вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения. Их свойства.

 

Билет 11.

 

1. Характеристические функции и их свойства. Закон больших чисел в форме Хинчина.

2. Выборочные моменты. Их асимптотическая нормальность.

 

Билет 12.

 

1. Центральная предельная теорема.

2. Статистическая структура. Выборка. Статистика.

 

Билет 13.

 

1. Условное математическое ожидание.

2. Выборочные моменты. Их асимптотическая нормальность.

 

Билет 14.

 

1. Неравенства Маркова и Чебышева. Закон больших чисел в форме Чебышева.

2. Критерий согласия χ-квадрат.




Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 50 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.009 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав