Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Классическое определение вероятности. Операции над событиями

Операции над событиями

Пусть (=> операции над событиями аналогичны операциям над множествами).

1) A = B ó A=B как подмножества Ω.

2) А + В происходит ó происходит А или В (Теория множеств: А B)

3) происходит ó происходит и А, и В ()

А, В - несовместные события Ø ó = Ø. (ó А и В не могут наступить одновременно)

4) А – В наступает ó наступает А, но не наступает В (A\B).

5) - противоположное к А событие.

- наступает ó не наступает А. ()

6) - А - частный случай В

если наступает А, то наступает В (A => B)

Классическое определение вероятности

Пусть - ПЭС опыта, состоящего из конечного множества равновозможных (из симметрии опыта) ЭС, состоит из m ЭС ()

- вероятность наступления события А в опыте.

Из определения очевидны следующие свойства вероятности:

Р (Ø) = 0, Р (Ω) = 1.

Примеры. Кость. P (A > 4) = 2/6 = 1/3.

Урна: 3 белых, 7 черных шаров. Р (вынут белый шар) = 3/10.

Теорема сложения. Для любых

Если А и В несовместны, то P (A+B) = P (A) + P (B).

Доказательство.

Если А и В несовместны, то А· В = Ø => m = 0 => P (A· B) = 0.

Следствие. Для попарно несовместных событий

Определение. Условной вероятностью события А при наличии события В называется вероятность события А, при условии, что событие В произошло.

Пример. Бросаем кость. A = {2}, B = {2, 4, 6}. Р (А = 2) = 1/6, P (A | B) = 1/3, P (B|A) = 1.

Определение. А, В – независимые, если Р (А | B) = P (A), равносильно Р (В | A) = P (B).

Пример. Опыт – два бросания монеты. независимы.

Теорема умножения.

Доказательство.

Пример 1 с двумя независимыми стрелками.

Пример 2. Бомба в самолете.

Следствия. 1) А, В независимы

2) Для независимых в совокупности

Определение независимых в совокупности событий : эти события попарно независимы и каждое независимо от произведения любого числа остальных событий .

Независимость и несовместность. Независимые события А, В с положительными вероятностями всегда совместны: Попарная независимость событий

не влечет их независимость в совокупности: Агапов. N 53.