Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Распределение Гаусса

Читайте также:
  1. I) Биноминальное распределение
  2. III. Распределение виртуальной памяти
  3. III. Распределение часов курса по темам и видам
  4. III. Распределение часов курса по темам и видам работ
  5. IV. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСОВ ПО ТЕМАМ ДИСЦИПЛИНЫ
  6. T-распределение Стьюдента
  7. А. Теоретическое распределение.
  8. Биномиальное распределение
  9. Биномиальное распределение вероятностей
  10. Биномиальное распределение.

 

Другая полезная аппроксимация может быть использована, когда велико не только общее число молекул N, но и число молекул n в элементе объема D t, а также число молекул N - n, оставшихся вне этого объема. Такой случай очень часто реализуется на практике, так как для того, чтобы он имел место, достаточно, если среднее число молекул в элементе D t

велико, но не слишком близко к полному их числу N, т.е. объем D t должен быть не слишком мал по сравнению с V, но и не слишком близок к полному объему. Распределение Гаусса оказывается уже достаточно точным, если и N- больше 3, и его точность тем выше, чем больше и N- .

Вероятность того, что в элементе объема D t окажется n частиц, при условии, что среднее число частиц в D t и среднее число частиц N - вне этого объема достаточно велики, дается формулой, носящей название распределения Гаусса и имеющей следующий вид:

(10.2)

Чаще всего распределение Гаусса (10.2) применяется, когда число молекул в D t очень велико. На практике почти никогда не требуется знать, какова вероятность наличия в D t ровно n молекул, а обычно интересуются вероятностью d W того, что число молекул заключено в интервале значений от n до n +d n. Если величина d n достаточно мала (много меньше, чем ), то вероятность W (n), подсчитанная по (10.2) для любого n из интервала d n, оказывается практически одной и той же. В связи с этим вероятность d W получается умножением вероятности W (n), взятой для какого-то (все равно какого) значения n из рассматриваемого интервала, на величину интервала d n, т.е.

(10.3)

Формула (10.3) показывает, что при большом числе молекул переменная n может считаться непрерывной случайной величиной и вероятность того, что ее значения заключены между n и n +d n, определяется формулой (10.3), т.е. соответствующая плотность вероятности равна

(10.4)

 

Если необходимо определить вероятность W того, что n заключено в интервале от n 1 до n 2, и интервал не предполагается малым по сравнению с , то необходимо учитывать изменение плотности вероятности в этом интервале и использовать правило, обычное для непрерывных случайных величин:

Точно так же при определении среднего значения функции f (n) от числа молекул n следует воспользоваться правилом вычисления средних значений, справедливым для непрерывных случайных величин:

Пределы в последнем интеграле по смыслу переменной n не могут быть меньше 0 и больше N, однако поскольку с самого начала предполагалось, что большие отклонения n от среднего значения маловероятны и при больших это действительно так, то без ущерба для точности вычислений можно заменить эти пределы соответственно на минус и плюс бесконечность, так что окончательно

Следует отметить, что распределение Гаусса часто встречается на практике и описывает поведение очень многих непрерывных случайных величин, т.е. оно справедливо не только для рассмотренного выше случая, но и в целом ряде других. На это имеются свои причины. Дело в том, что при большом числе испытаний распределение Гаусса оказывается предельным для целого ряда распределений. Существует теорема, называемая в силу ее важности центральной предельной теоремой теории вероятностей, которая устанавливает весьма общие условия, достаточные для того, чтобы предельное распределение было гауссовым, или, как его называют иначе, нормальным. Широкое распространение нормального закона распределения вероятностей дало повод для шутливого замечания, что физики считают повсеместное распространение нормального закона математической теоремой, а математики - экспериментально установленным фактом. Необходимо, конечно, иметь в виду, что распределение Гаусса хотя и встречается часто, но не является единственно возможным.

На рисунке представлены результаты расчета по формуле (10.4). Видим, как резко падает вероятность отклонения от среднего при увеличении среднего количества молекул.

 




Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 35 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав