Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Числовые характеристики случайных величин

Ряд распределений и плотность распределения несут полную информацию о соответствующей случайной величине, однако при решении многих практических вопросов достаточно знать две числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание и дисперсию. Мы дадим не очень строгое, но понятное определение этих характеристик.

Математическое ожидание М_Х случайной величины Х - это ее среднее арифметическое значение.

В это определение вкладывается следующий смысл. Пусть в серии из n опытов получены n значений случайной величины: х ₁, х ₂, …., х _n. При неограниченном увеличении длинны серии среднее арифметическое всех полученных значений, стремится к М_Х:

. (2.13)

Возможные значения случайной величины рассеяны вокруг ее математического ожидания М(х): часть из них превышает М(х), часть – меньше М(х). Рассеяние значений случайной величины вокруг ее математического ожидания оценивают с помощью дисперсии.

Дисперсия – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D_Х = M[Х – М_Х]². (2.14)

Формулы для расчета дисперсии дискретной и непрерывной случайных величин имеют следующий вид:

, (2.15)

. (2.16)

При вычислении дисперсии отклонения значений случайной величины возводятся в квадрат. Это делается для подавления знака «минус», который появляется в тех случаях, когда х < М_Х. Если этого не делать, то отрицательные и положительные значения скомпенсируют друг друга и в результате получится ноль.

Для того, чтобы избавиться от последствий возведения в квадрат, после вычисления дисперсии из нее извлекают квадратный корень. Полученную при этом величину и используют в качестве меры отклонения случайной величины от среднего значения.

Среднеквадратическое отклонение случайной величины – это квадратный корень из ее дисперсии:

(2.17)

(иногда употребляют термин «стандартное отклонение»).

При обработке данных над случайными величинами выполняют математические действия, в результате которых получаются новые случайные величины. Покажем, как меняются при этом математические ожидания и дисперсии.

1. При сложении случайной величины с константой (С) константа добавляется к математическому ожиданию, а дисперсия и с.к.о не меняются:

· М(Х + С) = М_Х + С;

· D(Х + С) = D_Х.

2. При умножении (делении) случайной величины на константу (k) математическое ожидание умножается на константу, а дисперсия на ее квадрат:

· М(k×Х) = k× М_Х;

· D(k×Х) = k²× D_Х, s(kX) = k×s _X.

3. При сложении случайных величин (как независимых, так и зависимых) их математические ожидания складываются:

М(Х₁ + Х₂) = М₁ + М₂.

4. При сложении независимых случайных величин их дисперсии складываются:

D(Х₁ + Х₂) = D₁ + D₂.