Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение , где и – действительные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Будем искать его частное решение в виде . Подставляя в уравнение значение , получаем: , , . Отсюда получаем , так как . Итак, решение уравнения , если .

Уравнение называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения . Корни характеристического уравнения ищутся в виде:

.

При его решении возможны три случая:

1. Корни и действительны и различны. Общее решение при этом имеет вид .

2. Корни и действительны и равны . Общее решение имеет вид .

3. Корни комплексные , . В этом случае общее решение имеет вид .

Для доказательства достаточно показать, что данные комбинации линейно независимы и при подстановке в уравнение дают верное равенство.