Читайте также:
|
|
Рассмотрим примеры решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Пример 1. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет вид:
.
Его корни и . Общее решение уравнения имеет вид:
.
Пример 2. Решить уравнение и найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям , и .
Решение. Характеристическое уравнение:
имеет равные корни , поэтому общее решение будет иметь вид:
.
Выделим из общего решения искомое частное. Для этого подставим начальные данные , в общее решение: , откуда .
Дифференцируя общее решение, получим:
, .
В полученное выражение подставляем начальные данные , , найдем, что . Учитывая, что , получим .
Таким образом, искомое частное решение будет иметь вид: .
Пример 3. Решить уравнение .
Решение. Характеристическое уравнение
имеет равные корни . Здесь , а , поэтому общее решение будет иметь вид:
.
Контрольные вопросы
1. Какой вид имеет линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами?
2. Какова структура общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами?
3. Как находится общее решение однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами?
4. Как находится частное решение однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами?
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 29 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |