Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа

Читайте также:
  1. V2: Предельные теоремы теории вероятностей
  2. ВЕРОЯТНОСТЬ СЛОЖНЫХ СОБЫТИЙ. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
  3. Вопрос 6.Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей.
  4. Вопрос33. Нелинейное программирование. Метод Лагранжа.
  5. Доказательства теоремы Цермело.)
  6. Задачи на теоремы о вероятностях событий
  7. Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей
  8. Закон полного тока для магнитного поля в вакууме. Применение теоремы о циркуляции вектора В.
  9. Лекция 5. Теоремы о выводимых формулах
  10. Обратная матрица. Теоремы о существовании и единственности. Алгоритм получения обратной матрицы.

Тема 5. Основные теоремы

Дифференциального исчисления.

Правило Лопиталя

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа

Следующие теоремы применяются при исследовании функций и построении их графиков.

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке функция достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. .

В самом деле, пусть функция дифференцируема на промежутке и в точке принимает наименьшее значение. Тогда и, следовательно, при достаточно малых независимо от знака . Отсюда при , при .

Переходя к пределу при (справа) и при (слева) получим и . По условию функция дифференцируема в точке , следовательно, ее предел при не зависит от способа стремления (справа или слева), т.е. . Это будет в случае если .

Аналогично доказывается для случая, когда функция в точке принимает наибольшее значение.

Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в следующем: в точке наибольшего или наименьшего значения функции, достигаемого внутри промежутка, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

Теорема Ролля. Если функция удовлетворяет следующим условиям: 1) непрерывна на отрезке [ a, b ]; 2) дифференцируема на интервале (а, b); 3) на концах отрезка обращается в нуль, т.е. , то внутри отрезка существует, по крайней мере, одна такая точка , в которой производная функции равна нулю .

Эта теорема имеет следующий геометрический смысл: найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс, в этой точке производная и будет равна нулю. На рисунке их две: и .

 

 

Теорема Лагранжа. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям: 1) непрерывна на отрезке [ a, b ]; 2) дифференцируема на интервале (а, b). Тогда внутри отрезка существует, по крайней мере, одна такая точка , в которой производная функции равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке, т.е.

.

 

Геометрический смысл этой теоремы следующий: дробь есть угловой коэффициент касательной хорды , стягивающей концы графика функции на отрезке [ a, b ], если перемещать хорду, то найдется хотя бы одна точка , в которой касательная к графику функции и хорда параллельны (так как их угловые коэффициенты равны).

 

 

Равенство называется формулой Лагранжа.

 




Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 23 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав