Читайте также:
|
|
Тема 5. Основные теоремы
Дифференциального исчисления.
Правило Лопиталя
Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа
Следующие теоремы применяются при исследовании функций и построении их графиков.
Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке функция достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. .
В самом деле, пусть функция дифференцируема на промежутке и в точке принимает наименьшее значение. Тогда и, следовательно, при достаточно малых независимо от знака . Отсюда при , при .
Переходя к пределу при (справа) и при (слева) получим и . По условию функция дифференцируема в точке , следовательно, ее предел при не зависит от способа стремления (справа или слева), т.е. . Это будет в случае если .
Аналогично доказывается для случая, когда функция в точке принимает наибольшее значение.
Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в следующем: в точке наибольшего или наименьшего значения функции, достигаемого внутри промежутка, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.
Теорема Ролля. Если функция удовлетворяет следующим условиям: 1) непрерывна на отрезке [ a, b ]; 2) дифференцируема на интервале (а, b); 3) на концах отрезка обращается в нуль, т.е. , то внутри отрезка существует, по крайней мере, одна такая точка , в которой производная функции равна нулю .
Эта теорема имеет следующий геометрический смысл: найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс, в этой точке производная и будет равна нулю. На рисунке их две: и .
Теорема Лагранжа. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям: 1) непрерывна на отрезке [ a, b ]; 2) дифференцируема на интервале (а, b). Тогда внутри отрезка существует, по крайней мере, одна такая точка , в которой производная функции равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке, т.е.
.
Геометрический смысл этой теоремы следующий: дробь есть угловой коэффициент касательной хорды , стягивающей концы графика функции на отрезке [ a, b ], если перемещать хорду, то найдется хотя бы одна точка , в которой касательная к графику функции и хорда параллельны (так как их угловые коэффициенты равны).
Равенство называется формулой Лагранжа.
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 23 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |