Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

С постоянными коэффициентами. Тема 13. Неоднородные линейные

Тема 13. Неоднородные линейные

Дифференциальные уравнения

Второго порядка

С постоянными коэффициентами

Структура решения неоднородного линейного

Дифференциального уравнения второго порядка

с постоянными коэффициентами

Уравнение вида

,

где p и q – вещественные числа, называется линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение этого уравнения представляет собой сумму частного решения неоднородного уравнения y _ч.н. и общего решения соответствующего однородного уравнения y _о.о., то есть y = y _ч.н. + y _о.о.. Это утверждение составляет содержание теоремы о структуре общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Напомним, уравнение является однородным, если f (x) равно нулю. Для того чтобы решить однородное дифференциальное уравнение, необходимо составить характеристическое уравнение . При его решении возможны следующие три случая.

Случай 1. Если корни k ₁, k ₂ различны, то общее решение однородного уравнения имеет вид:

.

Случай 2. Если k ₁ = k ₂ = k, то общее решение однородного уравнения имеет вид:

.

Случай 3. Если , то общее решение однородного уравнения имеет вид:

,

где , .