Читайте также:
|
|
Пусть дана некоторая бесконечная последовательность чисел
. Сумма всех этих чисел a1 + a2 + a3 … + an + … называется числовым рядом или просто рядом. Числа
называются членами ряда, член
– общим членом ряда. Кратко числовой ряд записывают с помощью знака суммы
, так:
.
Сумма нескольких первых подряд членов ряда называется частичной суммой. Они обозначаются следующим образом:
.
Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится к какому-нибудь числу , которое называется суммой ряда, то есть
. Если последовательность частичных сумм расходится, то ряд называется расходящимся.
В качестве примера рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем
:
.
Если , то частичная сумма этого ряда находится по формуле:
.
Если , то для значений
, и тогда получаем, что
,
то есть ряд будет сходиться. В случае если для значений
и последовательность
не имеет конечного предела, то есть ряд в этом случае будет расходиться.
Ряд называется гармоническим. Покажем, что этот ряд расходится. Для этого из последовательности его частичных сумм выделим суммы с номерами
и сделаем их оценку:
,
,
.
Для любого получим:
и для значений
. Поэтому последовательность
не имеет конечного предела.
В экономике бесконечные ряды и их суммы применяются, например, для решения следующей задачи. Владелец бессрочной облигации номиналом 1000 рублей каждый год получает 30 рублей. Определить истинную цену всей этой бесконечной последовательности платежей, если инфляция составляет 2% в год.
С учетом инфляции через год полученные 30 рублей сейчас будут эквивалентны рублям, через два года
рублям и так далее. В итоге получаем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 12 | Нарушение авторских прав