Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Свойства функций, заданных в евклидовом пространстве.

Читайте также:
  1. I Кислотно-основные свойства.
  2. I Кислотные и основные свойства
  3. I. Основные свойства живого. Биология клетки (цитология).
  4. I. ПОЧЕМУ МЫ ДОЛЖНЫ ИЗУЧАТЬ СТОРОНЫ И СВОЙСТВА ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА?
  5. I. ФИЗИОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МИОКАРДА
  6. А ты волшебник? Проверь себя! 42 свойства волшебника!
  7. Актуальность и проблематика детектирования NO, продуцируемого в организме. Спектральные свойства NO, требуемые аналитические параметры и выбор аналитического диапазона.
  8. Алгоритм и его свойства
  9. Алгоритм и требования к алгоритму (свойства алгоритма )
  10. Алгоритм. Свойства алгоритма. Способы записи алгоритма

Многие понятия, определенные для функции одной переменной, почти без изменения переносятся на функции нескольких переменных, заданных в евклидовом пространстве. Так, функция одной переменной может быть четной, нечетной, возрастающей, убывающей, ограниченной и т.д. Как выглядят эти понятия для функции нескольких переменных?

Прежде чем дать определение возрастающей (убывающей) функции на множестве Еп, должно быть определено отношение порядка: Х1 < Х2 понимается как строгое неравенство для всех компонент векторов: x11< x12, x21< x22, . . . , xn1< xn2. Тогда определение возрастающей (убывающей) функции нескольких переменных полностью аналогично соответствующему определению для функции одной переменной:

Df. Функция y(X) называется возрастающей (убывающей) на множестве D Ì Еп, если 1, Х2 Î D, таких что Х1 < Х2 следует, что y(X1) < y(X2) (y(X1)>y(X2)); функция y(X) называется неубывающей (не возрастающей) на множестве D Ì Еп, если "Х1, Х2 Î D, таких что Х1 £ Х2 следует, что y(X1) £ y(X2) (y(X1)³ y(X2)).

Df. Функция f(X), область определения которой (D(f)) симметрична относительно нуля называется четной (нечетной), если f(-X) = f(X) (f(-X) = -f(X)) для любого XÎ D(f).

Df. Функция f(X) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве D, если существует такое число m, что f(X) £ m (f(X) ³ m) " X Î D.

Df. Функция f(X), ограниченная и сверху и снизу на множестве D называется ограниченной на этом множестве, если m1 £ f(X) £ m2, " X Î D (m1, m2 – некоторые числа).

Замечание. Из функции нескольких переменных можно получить несколько функций одной переменной: пусть функция y = f(x1, x2, . . . , xn) – функция n переменных. Зафиксируем значения переменных x2 = x20, x3 = x30, . . . , xn = xn0, а х1 – пусть изменяется. Тогда получим функцию одной переменной: y1 = f(x1, x20, x30, . . . , xn0) = y1(x1). Аналогично можно получить функцию y2(x2), зафиксировав значения переменных х1, х3, . . . ,хn, и т.п. Значит, выражение «функция y = f(x1, x2, . . . , xn) возрастает по х1» означает, что возрастает функция y1(x1) при x2 = x20, x3 = x30, . . . , xn = xn0.

Графическое изображение функции более чем двух переменных невозможно. В случае же если функция f – функция двух переменных x и y, а значения ее z, то z = f(x,y) и график этой функции – поверхность в пространстве R3, состоящая из точек (x,y,z), где (x,y) Î D(f) (D(f) – область определения функции).

 

Например.

1) z = x2 + y2 – параболоид.

Область определения D(z) – множество всех точек плоскости OXY.

Область значений E(z): [0; + ¥). Z

 

 

Y

О

 

X

2) - эллиптический конус.

Область определения D(z) – множество всех точек плоскости OXY.

Область значений E(z): (-¥; + ¥). Z

 

 

O Y

 

X

 

 

3) x2 + y2 + z2 = R2 – сфера с центром в точке О(0;0;0) и радиуса R.

Z

 

 


O Y

 
 

 


X

 

 

4) - эллипсоид с центром в точке О(0;0;0).

Z

 
 


Y

O O

 

X

 

Для образного представления функции многих переменных используются линии заданного уровня.

Df. Линией уровня функции двух переменных z = f(x,y) называется плоская кривая, получаемая при пересечении графика этой функции с плоскостью, параллельной плоскости OXY: z = C, где C = const.

Из определения следует, что линия уровня – это линия, в каждой точке которой значение функции не изменяется ( = С ).

Обычно линии уровня, соответствующие различным значениям С, проецируются на плоскость OXY, тогда с их помощью можно исследовать характер поверхности, описываемой функцией z = f(x,y). Т.о. линии уровня функции z = f(x,y) – это семейство кривых на координатной плоскости OXY, описываемые уравнениями вида f(x,y)= С.

 

 
 

 


Аналогично вводится понятие поверхности уровня для функции n переменных:

Пусть y = f(x1, x2, . . . , xn) – функция n переменных и С – какое-либо число, тогда f(x1, x2, . . . , xn) = С – уравнение поверхности уровня С.

В частности, если n = 3: u = f(x, y, z) – функция 3-х переменных, то уравнение поверхности этой функции уровня C: f(x, y, z)=С – это уравнение поверхности в 3-ех мерном пространстве

 


Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 15 | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2018 год. (0.011 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав