Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Формула полной вероятности и формулы Бейеса

При вычислении вероятностей сложных событий часто приходится одновременно применять теоремы сложения и умножения. Рассмотрим одну часто встречающуюся схему.

1) Пусть событие А может произойти одновременно с одним и только с одним из n попарно несовместных событий H₁, H₂,...,H _n, называемых гипотезами. Тогда его можно представить в виде суммы несовместных слагаемых:

А = Н₁А + Н₂А +... + Н_nА,

следовательно, применяя сначала теорему сложения для несовместных событий, а затем теорему умножения для совместных событий, получим

(4.1)

Эта формула называется формулой полной вероятности, поскольку при вычислении вероятности данного события А мы учитываем все возможные гипотезы.

Схема применения формулы полной вероятности имеет две характерные особенности:

а) относительно появления события А существует некоторая неопределенность, то есть можно сделать несколько предположений (гипотез);

б) опыт проходит в два этапа: сначала осуществляется какая-либо гипотеза, а затем уже само событие А.

Сформулируем теперь обратную задачу. Пусть имеется та же схема, что и в пункте 1), но интересующее нас событие А уже произошло. Нужно найти при этом предположении вероятности гипотез, то есть найти условные вероятности P(H _i /A) (i = 1,2,...,n).

Это можно сделать с помощью так называемых формул Бейеса:

(4.2)

где Р(А) вычисляется по формуле (4.1).

Пример 1. Имеется 5 одинаковых на вид урн следующих составов:

2 урны содержат по 3 белых и 3 черных шара,

2 урны содержат по 4 черных шара,

1 урна содержат 1 белый и 5 черных шаров.

Наудачу выбирается урна и из нее вынимается шар. Найти вероятность того, что он будет белым. Решение. Пусть А - выход белого шара.

Поскольку мы не знаем, из какой именно урны был вынут шар, можно сделать три гипотезы:

H₁ - выбор урны первого состава;

Н₂ - выбор урны второго состава;

Н₃ - выбор урны третьего состава.

Тогда А = H₁А + Н₂ А + Н₃А, следовательно, по формуле полной вероятности

P(A)=P(H₁)P(A/H₁)+P(H₂)P(A/H₂)+P(H₃)P(A/H₃). (4.3)

Вычислим все нужные вероятности по классическому определению. Так как всего урн 5, из них 2 первого состава, 2 второго и 1 третьего, то

Условные вероятности P(A/H_k) -это вероятности вынуть белый шар из урны определенного состава, поэтому

Подставляя найденные вероятности в (4.3), получим

Пример 2. Вернемся к первому примеру данного параграфа и предположим, что в условиях этого примера мы вынули из урны шар, и он оказался белым. Нужно найти вероятность того, что вынут из урны 1-го состава, 2-го состава, 3-го состава.

Решение. Мы уже нашли, что в данных условиях р(а) = , тогда по формулам (4.2)

Естественно, что для урны 1-го состава эта вероятность больше, чем для урны 3-го состава (там белых шаров больше), а для урны 2-го состава вероятность равна нулю (там белых шаров вообще нет), но с помощью формул Бейеса мы смогли не только оценить, но и точно указать эти вероятности.

Как видно из формул Бейеса, чтобы найти вероятность какой-либо гипотезы, нужно взять соответствующее этой гипотезе слагаемое в формуле полной вероятности и разделить его на полную вероятность события А. Таким образом, формулы Бейеса показывают, какую долю составляет каждая гипотеза в полной вероятности данного события.