Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Возрастание и убывание функций.

Теорема 1. Если дифференцируемая на интервале (a;b) функция ƒ(х) возрастает (убывает), то ƒ'(х)≥0 (ƒ"(х)≤0) для " x є (a;b).

Пусть функция ƒ(х) возрастает на интервале (α;b). Возьмем произвольные точки х и х+∆х на интервале (α;b) и рассмотрим отношение

Функция ƒ(х) возрастает, поэтому если ∆х>0, то х+∆х>х и ƒ(х+∆х)>ƒ(х); если ∆х<0, то х+∆х<х и ƒ(х+∆х)<ƒ(х). В обоих случаях

так как числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки.

По условию теоремы функция ƒ(х) имеет производную в точке х и является пределом рассматриваемого отношения. Следовательно,

Аналогично рассматривается случай, когда функция ƒ (х) убывает на интервале (a;b).

Эта геометрически теорема означает, что касательные к графику возрастающей дифференцируемой функции образуют острые углы с положительным направлением оси Ох или в некоторых точках параллельны оси Ох.

Теорема 2 функция ƒ(х) дифференцируема на интервале (a;b) и ƒ'(х)>0 (ƒ'(х)<0) для " x є (a;b), то эта функция возрастает (убывает) на интервале (a;b).

Пусть ƒ'(х)>0. Возьмем точки х₁ и х₂ из интервала (a;b), причем x₁<х₂. Применим к отрезку [x₁;x₂] теорему Лагранжа: ƒ(х₂)- ƒ(x₁)=ƒ'(с)(х₂-x₁), где с є (x₁;x₂). По условию ƒ'(с)>0, х₂-х₁>0. Следовательно, ƒ(х₂)-ƒ(х₁)>0 или ƒ(х₂)>ƒ(х₁), т. е. функция ƒ(х) на интервале (a;b) возрастает.

Рассмотренные теоремы позволяют довольно просто исследовать функцию на монотонность. Напомним, что функция возрастающая или убывающая называется монотонной.

Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция у=ƒ(х) имеет экстремум в точке х₀, то ее производная в этой точке равна нулю: ƒ'(х₀)=0.

Пусть, для определенности, x₀ — точка максимума. Значит, в окрестности точки х₀ выполняется неравенство ƒ(х₀)>ƒ(х₀+∆х). Но тогда

если ∆х>0, и ∆у/∆х>0, если ∆х<0.

По условию теоремы производная

существует. Переходя к пределу, при ∆х→0, получим ƒ'(x₀)≥0, если ∆х<0, и f'(х₀)≤0, если ∆х>0. Поэтому ƒ'(х₀)=0. Аналогично доказывается утверждение теоремы 25.8, если х₀ — точка минимума функции ƒ(х).

Теорема 2(достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция у=ƒ(х) дифференцируема в некоторой d -окрестности критической точки х₀ и при переходе через нее (слева направо) производная ƒ'(х) меняет знак с плюса на минус, то х₀ есть точка максимума; с минуса на плюс, то х₀ — точка минимума.

26.Дать определение графика функции выпуклого вниз, вверх. Сформулировать правило нахождения интервалов выпуклости, достаточное условие существования точек перегиба.