Читайте также:
|
|
Дифференциальное уравнение вида
называется уравнением с разделенными переменными.
Дифференциальное уравнение вида
(2)
называется уравнением с разделяющимися переменными.
Путем деления на , оно приводится к дифференциальному уравнению
,
которое имеет вид (1).
Будем считать в (1) и – непрерывными функциями, а функцией независимого переменного . Выражение слева есть дифференциал некоторой функции , зависящей от , а выражение справа – дифференциал некоторой функции , зависящей от Решениями дифференциального равнения (1) будут те и только те дифференцируемые функции , которые при некоторой постоянной удовлетворяют уравнению . При этом следует помнить, что если , то по теореме о неявной функции функция , определяемая неявно уравнением , где – произвольная постоянная, будет дифференцируемой.
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение
Решение. Разделим в (2) переменные и придем к уравнению
Решением дифференциального равнения (2) будет функция такая, что , где – произвольная постоянная. Отсюда .
Пример 2. Решить дифференциальное уравнение
Решение. Очевидно, функция есть решение уравнения (3). Пусть теперь y>0. Разделим в (3) переменные и придем к уравнению
Проинтегрировав (), получим где – произвольная постоянная. Отсюда следует, что , . Таким образом, при каждом фиксированном значении функция , является решением уравнения (3). Других решений это уравнение в полуплоскости не имеет.
Пример 3. Проинтегрировать уравнение
(4)
Решение. В этом уравнении переменная не может принимать значение 0. Поэтому возможно деление на . Разделив в (4) переменные, получим
. ()
Проинтегрировав (), имеем , или . Постоянную запишем в виде .Тогда . Введем постоянную . Тогда общий интеграл уравнения (4) есть
.
В общем интеграле дифференциального уравнения первого порядка одна произвольная постоянная, которую принято обозначать как . По этой причине принято при переходе от одной произвольной постоянной к другой, например, от к от к , индексы не записывать. Следовательно, общий интеграл уравнения (4) имеет вид
(С> 0).
Пример 5. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию.
(5)
Решение. Мы ищем решение дифференциального уравнения (5) в окрестности точки , удовлетворяющее условию . Дифференцируемая функция
непрерывна. Поэтому окрестность точки будем считать столь малой, что
(6)
для любого из этой окрестности. Тогда . Разделив на , получим , откуда
Следовательно, с учетом (6), общий интеграл данного уравнения есть
(С>0).
Найдем значение параметра , которому соответствует кривая, удовлетворяющая начальному условию , то есть проходящая через точку (1,2) :
Таким образом, решением будет такое, что .
Пример 6. Проинтегрировать уравнение
Решение.
Разделив на , получим
откуда
, или .
Дата добавления: 2015-01-29; просмотров: 21 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |