Читайте также:
|
Лекція № 11
СТИСКАЮЧІ ВІДОБРАЖЕННЯ І МЕТОД ІТЕРАЦІЇ
Одним з найбільш важливих інструментів математичного аналізу є теорема Банаха, яку називають також принципом стискаючих відображень. У цьому розділі теорема використовується для обґрунтування ітераційного методу наближеного розв'язку рівнянь з одним невідомим і систем рівнянь.
Основні визначення
В першій лекції було введено поняття метричного простору як деякої множини X із заданою на ньому метрикою (відстанню) ρ. Тим самим метричний простір являє собою пару (X, ρ), що складається з множини і відстані. Зміна будь-якого компонента цієї пари означає зміну метричного простору. Для стислості метричні простори будемо позначати так само, як і множини, за винятком випадків, коли зазначення відстані необхідно для конкретизації просторів.
Також в 1.2 розглянуті приклади метричних просторів, серед яких простір R дійсних чисел з метрикою, яка визначається за формулою (1.1), і три простори n- мірних дійсних числових векторів R n з метриками (1.2)-(1.4). Коли необхідно підкреслити вибір відстані в просторах векторів, простір R n з метрикою ρ1, будемо позначати через 
, з метрикою ρ2 – 
, з метрикою ρ∞ – 
. В іншому випадку нижні індекси опускаємо.
При n=1 зазначені метричні простори векторів є не чим іншим, як простором R, оскільки тоді вектори мають одну числову координату, а всі ці три відстані між одновимірними векторами 
і 
рівні 
.
Простори R, 
є основними в даному розділі. Крім них знадобляться і інші простори, що визначаються на їх базі за такою схемою. Нехай X — метричний простір. Взявши будь-яку підмножину множини X, на ній природно ввести ту ж метрику 
, що і на X. Тоді вийде новий метричний простір, який називається метричним підпростором простору X.
Наприклад, проміжки (0;1) і [0;3] можна вважати метричними підпросторами простору R, оскільки відстань між точками цих проміжків також визначається за формулою (1.1). У свою чергу, інтервал (0;1) є метричним підпростором відрізка [0;3].
З курсу математичного аналізу відомо поняття функції однієї або кількох числових змінних, значеннями якої є числа. Аналогічно визначається функція 
в разі довільних множин М і N. При цьому замість терміна «функція» часто використовуються терміни «відображення» чи «оператор». Якщо 
, то елемент 
називають образом елемента х при відображенні F. Як і у випадку функцій, x можна називати аргументом, a F(x) — значенням відображення F, відповідним х.
Множина М називається областю визначення відображення F (позначимо його DF), а множина 
— множиною значень цього відображення.
В цьому розділі мова піде про розв'язання рівнянь виду
(11.1)
де F є відображенням, заданим на одному з основних метричних просторів або на якому-небудь їх підпросторі. Це рівняння має сенс, якщо х і F(x) є або числами, або числовими векторами однієї і тієї ж розмірності. Більш того, завдання пошуку наближених рішень і оцінки їх похибок вимагають, щоб відстані між аргументами і між відповідними їм значеннями вимірювалися однаково. Отже, множина значень відображення F має бути підмножиною того ж основного метричного простору, в якому знаходиться її область визначення. Не може бути, наприклад, рівняння виду (11.1) з таким відображенням F, що 
, а 
, або 
, а 
У випадку коли F — дійсна функція однієї змінної, рівняння (11.1) являє собою рівняння з одним невідомим. Розглянуті в 12.1 та 12.2 наведені системи з п рівнянь з п невідомими є окремими випадками рівняння (11.1) з відображенням типу «вектор → вектор».
Визначення 11.1. Елемент 
, при якому є правильною рівність
називається розв’язком (коренем) рівняння (11.1).
Розв'язок 
рівняння (11.1) називають також нерухомою точкою відображення F, оскільки його образ 
збігається з .
Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 32 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |