Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Метод ітерації для систем нелінійних рівнянь

Рішення систем рівнянь виду

де – нелінійні дійсні функції, в більшості випадків пов'язане з серйозними труднощами. Для них не існує загальних схем точного рішення, таких, як методи Крамера і Гауса для систем лінійних алгебраїчних рівнянь, тому зазвичай їх вирішують наближено різними ітераційними методами. Описаний в 11.2 загальний метод ітерації застосуємо і тут, причому основні міркування і викладки багато в чому аналогічні лінійному випадку.

Для простоти обмежимося розглядом системи з двох рівнянь з двома невідомими

(12.13)

в якій хоча б одна з функцій не є лінійною.

Двовимірний числовий вектор назвемо рішенням системи (12.13), якщо при підстановці його координат обидва рівняння системи перетворюються на вірні рівності. На відміну від лінійних систем тут координатами рішення можуть бути комплексні числа. Наприклад, система

має два комплексних рішення (знайдіть їх!).

Надалі нас будуть цікавити тільки рішення, що належать простору , тобто далі під словом «рішення» будемо мати на увазі «дійсне рішення».

Рішення системи (12.13) називається ізольованим, якщо знайдеться такий відкритий прямокутник , в якому це рішення єдине. Припустимо, що система (12.13) має ізольовані рішення. Ставиться завдання знаходження наближень до них методом ітерації.

Для цього систему (12.13) представимо у формі приведеної системи

(12.14)

але так, щоб ці системи були еквівалентні. Тут – дійсні функції двох змінних з областями визначення і з . Вважаємо, що множина – область визначення системи – не є порожньою.

Пара функцій з правої частини системи (12.14) задає відображення

, (12.15)

переводить кожен двовимірний вектор з в єдиний двовимірний вектор з координатами і . Отже, область визначення і множина значень відображення знаходяться в . Будь-яке рішення системи (12.14) є нерухомою точкою цього відображення, оскільки рівності і означають те, що . Рекурентне співвідношення (11.6) в даному випадку перетворюється в формули

(12.16)

за допомогою яких послідовно знаходяться координати членів ітераційної послідовності .

Як і у випадку нелінійних рівнянь з одним невідомим, перед уточненням рішень системи (12.14) проводиться їх відділення графічним методом. Для цього на площині креслимо криві, що задаються рівняннями системи. Координати точок перетину кривих дають рішення. Потім для кожної ізольованої точки перетину підбираємо такий замкнений прямокутник , який містить цю точку:

(12.17)

який не містить інших рішень системи.

Приклад 12.4. Уявімо систему рівнянь

(+)

у формі (12.14), відокремимо її рішення і побудуємо відповідну ітераційну послідовність з яким-небудь початковим вектором.

Найбільш очевидним варіантом наведеної системи тут може бути такою:

(++)

Намалювавши лінії і , неважко побачити, що вони перетинаються в єдиній точці, розташованій всередині квадрата.

Системі (++) відповідають рекурентні формули

користуючись якими і знайдемо кілька членів ітераційної послідовності, взявши, наприклад, в якості вершину квадрату . Координати одержуваних векторів округляємо до двох цифр після десяткової коми.

Обчислимо координати . Значить, беремо . Продовжуючи таким чином, знаходимо: і т.д. ●

Помічаємо, що точки, складеної для системи (++) ітераційної послідовності, відразу ж вийшли з квадрата ізоляції рішення, хоча початкова точка була взята з цього квадрата. Викликає сумнів і збіжність цієї послідовності до рішення. Нижче побачимо, що дана ситуація не випадкова, оскільки система (++) не задовольняє достатній умові збіжності ітераційного процесу.

Для отримання варіанту теореми Банаха, який відповідає системі (12.14), візьмемо в якості метричного простору замкнений прямокутник (12.17) з введеною на ньому метрикою . При цьому нам потрібно наступний двовимірний аналог теореми Лагранжа.

Теорема 12.2. Нехай функція неперервна і має неперервні частинні похідні на прямокутнику . Тоді для будь-яких двох точок і з знайдеться така точка з координатами, що лежать між і , і відповідно, що

Теорема 12.2 випливає з формули Тейлора для функцій двох змінних

Теорема 12.3. Нехай розв'язок системи (12.14) ізольовано в просторі . Якщо:

1) функції і такі, що відображення , яке ними визначається, переводить в себе;

2) функції мають безперервні приватні похідні на , і існує число , таке, що при всіх вірні нерівності

то ітераційний послідовність, породжена формулами (12.16), сходиться до рішення при будь-якому початковому наближенні . Для оцінки похибки наближення мають місце формули

○Для доказу покажемо, що при виконанні умови (2) теореми відображення задовольняє на умові Ліпшиця з коефіцієнтом стискання .

Візьмемо два довільних вектора і з і позначимо

Відстань між і в нашому випадку виразиться формулою

Оцінимо перший модуль з правої частини рівності (12.22). Застосовуючи до функції , теорему 12.2 з відповідною точкою та враховуючи властивості модуля, отримаємо

З огляду на те що , можемо замінити модулі різниць між координатами на відстань :

Використовуючи першу з умов (12.19), маємо

Аналогічно виводиться оцінка для другого модуля з (12.22)

У підсумку отримуємо необхідну нерівність з умови Ліпшиця:

що разом з умовою 1) дає можливість закінчити доказ посиланням на теорему Банаха. Зокрема, співвідношення (12.20) і (12.21) відповідають оцінками (12.7) і (12.8). ●

Приклад 12.5. Звернімося знову до системи (++) з прикладу 12.4 і перевіримо для неї виконання умов теореми 12.3 на квадраті . Тут відображення визначається функціями і

1. З'ясуємо, чи будуть точки належати квадрату при всіх . Відповідь негативна, оскільки тоді координати лежать на відрізку , а не на , а координати знаходяться на замість . Отже, не відображає у себе.

2. Частинні похідні , , неперервні на . Перша з сум модулів частинних похідних з нерівностей (12.19) дорівнює , друга – . Зрозуміло, що ці нерівності не мають місця не тільки на квадраті , а й на будь-якому іншому прямокутнику ізоляції рішення. •

Приклад 12.5 показує, що запис системи (+) у формі (++) виявилася невдалою для застосування методу ітерації. Однак її можна перетворити в іншу еквівалентну приведену систему з виконанням умов теореми 12.3 (впр. 12.8).

Формули для обчислення абсолютних похибок наближень до вирішення і умова закінчення ітераційного процесу при знаходженні наближеного рішення із заданою точністю легко виходять з оцінок (12.20) і (12.21).

Зауваження. 1. У теоремі 12.3 попередня умову існування єдиного рішення на просторі можна було не ставити. В силу теореми Банаха воно автоматично випливає з інших двох умов.

2. З огляду на те що теорема 12.2 справедлива не тільки на прямокутниках виду (12.17), але також і на , теорема 12.2 та її доказ залишаються вірними, якщо в якості метричного простору взяти весь простір .

З теореми 12.3 з урахуванням зроблених зауважень випливає важливий наслідок.

Наслідок. Якщо областю визначення системи (12.14) є весь простір і на виконується умова (2) теореми 12.4, то система (12.14) має одне і тільки одне рішення, до якого ітераційна послідовність буде сходитися при будь-якому початковому наближенні .

Вправи

12.8. Приведемо систему (+) до виду (12.14) іншим способом:

Покажіть, що умови теореми 12.3 для цієї системи вірні на прямокутнику , а на квадраті – ні.

12.9. Знайдіть прямокутник ізоляції рішення системи

де виконуються умови теореми 12.3.

12.10. Доведіть, що крім очевидного рішення система

не має інших рішень.

12.11. Знайдіть наближені рішення систем з dпр. 12.8 і 12.9 з точністю до .

12.12. Перенесіть всі міркування і результати цієї лекції з двовимірного випадку на випадок системи рівнянь з невідомими.

12.13. Системи рівнянь з 12.2 насправді є окремими випадками розглянутих тут систем. Переконайтеся, що теорему 12.1 (при ) можна отримати з наслідку та оціночних формул (12.20), (12.21). Зверніть також увагу на аналогії в доказах теорем 12.1 і 12.3.