Читайте также:
|
|
Глава 9. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
Постановка задачи
Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка
(1) |
Краевую задачу для уравнения (1) можно сформулировать следующим образом: найти функцию y=y(x), которая внутри отрезка [a,b] удовлетворяет уравнению (1), а на концах отрезка краевым условиям:
(2) |
Рассмотрим случай, когда уравнение (1) и краевые условия (2) линейны. Такая краевая задача называется линейной краевой задачей. В этом случае дифференциальное уравнение и краевые условия записываются так:
(3) | ||
(4) |
где p(x), q(x), f(x) – известные непрерывные на [a,b] функции, – заданные постоянные, причем и .
Если А=В=0, то краевые условия (4) называют однородными.
Методы приближенного решения краевых задач можно разбить на две группы:
- разностные методы
- аналитические методы.
9.2. Метод конечных разностей для линейных дифференциальных уравнений второго порядка
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с двухточечными линейными краевыми условиями , (функции p(x), q(x), f(x) –непрерывны на [a,b], и ).
Одним из наиболее простых методов решения краевой задачи является сведение ее к системе конечно-разностных уравнений.
Для этого разобьем основной отрезок [a,b] на n равных частей длины h, где . Получим точки разбиения: .
Обозначим значения искомой функции y=y(x) и ее производных в точках деления xi через . Аналогично введем обозначения .
Заменим производные функции во внутренних точках xi отрезка [a,b] симметричными конечно-разностными отношениями:
(5) |
В концевых точках х0=а и xn=b, чтобы не выходить за пределы отрезка [a;b], сделаем другую замену:
(6) |
Используя формулы (5), дифференциальное уравнение (1) во внутренних точках xi, где i=1,2,…, n-1, приближенно можно заменить линейной системой уравнений:
(7) |
Кроме того, в силу формул (6) краевые условия (2) дополнительно дают еще два уравнения:
(8) |
Таким образом получена линейная система n+1 уравнений с n+1 неизвестными , представляющее собой значения искомой функций y=y(x) в точках .
Решив эту систему, если возможно, получим таблицу значений искомой функции y.
Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 17 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |