Читайте также:
|
|
При применении метода конечных разностей к краевым задачам для дифференциальных уравнений второго порядка получается «трехчленная система» линейных алгебраических уравнений, каждые из которых содержит три соседних неизвестных. Для решения такой системы разработан специальный метод, получивший название «метода прогонки».
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с двухточечными краевыми условиями , (функции p(x), q(x), f(x) –непрерывны на [a,b], и ).
От дифференциального уравнения перейдем к конечно-разностному уравнению. Для этого разобьем отрезок [a,b] на n равных частей с шагом . Получим точки разбиения: .
Обозначим
Заменим производные в точках xi i=0,1,2,…,n-1 конечно-разностными отношениями
А в точках x0 и xn отношениями
Вместо дифференциального уравнения (3) и краевых условий (4) получим систему конечно-разностных уравнений.
(8) |
Метод прогонки решения таких систем заключается в следующем. Запишем сначала первые n-1 уравнения системы в виде
(9) |
где
(10) |
Из уравнения выразим y0:
(11) |
Подставим получившееся выражение в первое уравнение системы (9) (при i=0). Уравнение тогда будет зависеть только от двух неизвестных y1 и y2. Преобразуем уравнение, выразив y1:
,
где
(12) |
Полученное выражение для y1 подставим в следующее уравнение системы и т.д. В общем виде получим следующие выражения:
, | (13) |
где
(14) |
Рассмотрим последнее уравнение вида (12) и последнее уравнения системы (8):
Подставив первое уравнение во второе, получим:
(15) |
Вычисления производятся в следующем порядке:
Прямой ход
По формулам (10) вычисляем значения mi и ki.
Далее, по формулам (12) находим c0 и d0, а затем, применяя последовательно формулы (14) получаем значения ci и di, при i=1,2,…,n-2.
Обратный ход
Т.к. числа все значения чисел ci и di уже найдены, найдем значение yn по формуле (15). Затем, последовательно применяя формулы (12) вычисляем значения yi, i=n-1,…,1.
И, наконец, значение y0 находим по формуле (11).
Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 29 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |