Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Представление вещественных чисел в памяти ПК

В С++есть два вещественных типа: float и double. Операции

вещественной арифметики выполняет сопроцессор (FPU).

Значение, полученное в сопроцессоре, преобразуется в тип float или double и хранится в этом типе.

Вещественное число представляется в виде (в IBM PC):

x=(-1)^S * 1.f * 2^p

Здесь S – знак(‘+’ - 0/’-’ - 1), 1.f – мантисса числа, p – порядок.

В памяти хранится: машинный порядок P^’=P+д; д зависит от формата и кол-ва разрядов под порядок, 1 в целой части мантиссы в форматах float и double не хранится, но подразумевается, в сопроцессоре 1 в целой части мантиссы хранится.

K

Под машинный порядок p’ отводится K разрядов: в эти к разрядов входит максимальное число max, д=max/2, половина значений p’ соответствуют положительному истинному порядку p, половина отрицательному. P’ всегда положительный.

K=8 (float); K=11 (double); K=15(long double);

max=255 max=2047 max=32767

соответственно

д=127( float ); д=1023( double ); д=16383( long double );

p’= p+127 p’= p+1023 p’= p+16383

Для чисел X: 0< p’ <max;

Eсли P’=0 и f=0, то X=0.

Eсли P’=max, то данное X не является числом, а представляет некоторое специальное значение:

+бесконечность: 0 11...11 00.... 00

- бесконечность: 1 11...11 00.... 00

P’ f

Не числа: (NaN, Not a Number): P’=11... 11, а f≠0

Неопределённость: P’=11... 11, а f=1000... 00

Денормализованные числа: 0/1 P’=000.... 00, а f≠0

Положение точки не фиксируется, оно определяется порядком P числа, т.е. точка как бы плавает по разрядной сетке: для разных чисел её место может быть разным. Такая форма представления получила название представления с плавающей точкой. Код числа в этом случае называют машинным кодом представления с плавающей точкой. Характеристики машинного слова: МС {n, k, m, q, E=2}, Е не хранится, оно выбирается при конструировании процессора, также как и способ представления порядка P’.

В дальнейшем будем рассматривать тип double

Пример. X=3.5 = 11.1₂ = (-1)⁰ *1.11*2¹

P’ = 1+1023 =1024

p’=1024 f=0.11

7 6 5 4 3 0

16-ый код: 40 0С 00 00 00 00 00 00

Число –3.5: С0 0С 00 00 00 00 00 00

Диапазон чисел, представимых в формате с плавающей точкой (тип double ): |X|_min <=|X|<=|X|_max и X=0 1<=P’<=2046

|M|_min*2^pmin <=|X| <=|M|_max*2^pmax и X=0

1*2^-1022<=|X| <=(2-2^-52)*2¹⁰²³ и X=0

10^k<=|X| <=10^L lg2=0.30103

k= –1022*lg 2= –307.65266= -308+0.34734

L= 1024* lg 2=1024*0.30103=308.25472

2.2*10^-308<=|X| <=1.7*10³⁰⁸ и X=0

^{__[\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\] _____|_____[\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\]______}

^–X_max -X_{min 0} X_{min Xmax}

Точность чисел, представленных в формате с плавающей точкой: часто вместо числа Х в МС хранится его приближение Х^*. Погрешность вносится из-за хранения приближенного значения мантиссы.

Абсолютная погрешность числа Х^*: |X – X^*| = ∆(Х^*) =|M_X –M_X*|*2^p_x= 2^-52*2^px т.е. абсолютная погрешность числа зависит от порядка числа.Обычно для формата с плавающей точкой определяют относительную погрешность Х^* : d(Х^*)

Для пользователя более важным является практический вопрос: сколько значащих цифр десятичного представления числа гарантированно сохраняются при таком формате хранения числа. Есть приближенное правило для определения этого количества К цифр при q=2:

m двоичных разрядов мантиссы соответствуют К десятичным цифрам: К»[m / 3.32]; Для типа double К=[53/3.32]=15.96, т.е. для значения типа