Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Править]Доказательство

1) Существование общей точки. Множество левых концов отрезков лежит на числовой прямой левее множества правых концов отрезков , поскольку

В силу аксиомы непрерывности, существует точка , разделяющая эти два множества, то есть

в частности

Последнее неравенство означает, что — общая точка всех отрезков данной системы.

2) Единственность общей точки. Пусть длина отрезков системы стремится к нулю. Покажем, что существует только одна точка, принадлежащая всем отрезкам системы. Предположим противное: пусть имеется две различные точки и , принадлежащие всем отрезкам системы:

Тогда для всех номеров выполняются неравенства:

В силу условия стремления к нулю длин отрезков для любого для всех номеров , начиная с некоторого будет выполняться неравенство

Взяв в этом неравенстве , получим

Противоречие. Лемма доказана полностью.