Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Первообразная и неопределенный интеграл и его свойства.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если F'(x)=f(x)

Неопределенный интеграл – это совокупность всех первообразных для данной функции.

∫f(x) dx = F(x) + C

Свойства неопределенного интеграла:

1) Производная от неопределенного интеграла равна подинтервальной функции.

(∫f(x) dx)’ = f(x)

2) Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтервальному выражению.

d (∫f(x) dx) = f(x) dx

dy = y’(x) dx

3) Интеграл от дифференциала некоторой функции равен самой этой функции + произвольная постоянная.

∫ d (F(x)) = F(x) + C

4) Интеграл от алгебраической суммы конечного числа слагаемых равен алгебраической сумме интегралов, от каждого слогаемого отдельно.

∫ (f(x) + u(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫u(x) dx

5) Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

∫ C*f(x) dx = C ∫ f(x) dx

6) Свойство инвариантности интегральных формул.

∫ f(x) dx = ∫ f(u) du

Простейшие приемы интегрирования.

1) Табличное интегрирование.

2) Способ разложения.

3) Метод подведения под знак дифференциала.

Тождественное преобразование подинтегрального выражения и приведения его к табличному виду.

Метод интегрирования по частям.

Если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций, то справедливы формулы:

∫ u dv = uv - ∫ v du

Метод замены переменной.

Заключается во введении новой переменной интегрирования.

∫ f(x) dx = ∫ f(u(t)) * u’(t) dt

Задача, приводящая к понятию определенного интеграла.

Найти: Площадь криволинейной трапеции ограниченной линиями.

1) Отрезок A-B произвольным образом разобьем на N частей.

⧍X_i = X_i – X_i-1

2) Возьмем произвольную.

3) Заменим каждую криволинейную трапецию прямоугольником и вычислим его площадь.

S_произв = f (S_i)*⧍X_i

4) Найдем точно площадь криволинейной трапеции.

S = lim

Определенный интеграл и его геометрический смысл, свойства.

Определенный интеграл – это число, равное пределу N-ой интегральной суммы, когда наибольший из частичных отрезков разбиения стремится к нулю при N->∞.

Определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, прилегающей к оси Ox и ограниченной кривой у=f(x) и прямыми у=0; х=а; х=b.

Свойства:

1) _a∫^b f(x) dx = - _b∫^a f(x) dx

2) _a∫^a f(x) dx = 0

3) _a∫^b dx = b-a

4) Аддитивность: _a∫^b f(x) dx = _a∫^c f(x) dx + _c∫^b f(x) dx;

Справедливо для любого конечного числа разбиения числа A-B.

Формула Ньютона-Лейбница. Правила вычисления определенного интеграла.

_a∫^b f(x) dx = F(b) – F(a)

Правило. Для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции надо найти для нее первообразную функцию и составить разность значений этой последней функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.