Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Предел числовой последовательности.

Определение 1: Число а называется пределом числовой последовательностью { х_n }, если для любого положительного числа e существует номер N такой, что при всех n > N выполняется неравенство | x_n - a |< e. Последовательность { х_n } – называется сходящейся. .

Теорема 1: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Определение 2: Последовательность { х_n } не являющаяся сходящейся называется расходящейся.

Из определения 1 предела следует, что каким бы малым мы ни взяли число e >0, начиная с некоторого номера N все элементы последовательности будут отличаться от числа а меньше, чем на e, то есть элементы последовательности неограниченно приближаются к числу а при неограниченном возрастании номера n.

Определение 3: Число а не является пределом числовой последовательности { х_n }, если существует положительное число e, что для любого номера N найдётся номер n > N такой, что выполняется неравенство | x_n - a |³ e.

Из | x_n - a |< e Þ - e < x_n - a < e Þ а - e < x_n < а + e, то есть элемент x_n находится в e -окрестности точки а.

Следствие 1: Пусть { х_n } сходится и имеет своим пределом некоторое число а.

Тогда разность { х_n - а }={ a_n } является бесконечно малой последовательностью, так как для любого e >0 существует номер N такой, что при всех n > N выполняется неравенство | x_n - a |=| a_n |< e.

Следствие 2: Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом 0.

Следствие 3: Любой элемент x_n сходящейся последовательности, имеющей пределом число а можно представить в виде: x_n = а + a_n, где a_n элемент бесконечно малой последовательности { a_n }. Справедливо и обратное.

Определение 4: Число а называется пределом числовой последовательностью { х_n }, если для любой e -окрестности точки а существует номер N такой, что все элементы x_n с номерами n > N находятся в этой e -окрестности.

Бесконечно большие последовательности имеют бесконечный предел