Читайте также:
|
|
Дискретне повідомлення містить набір чисел і символів. Кожне число містить цифри. Спосіб запису чисел цифровими знаками називається системою числення. У цифровій техніці використовуються так звані позиційні системи числення. У позицiйних системах числення до яких вiдноситься i загальноприйнята десяткова, числове значення цифри залежить вiд її мiсцерозташування (позицiї) у послiдовностi цифр, якi зображають число. Наприклад, у числi 636.36 одна i та ж цифра 6 означае (злiва направо) шiсть сотень,шiсть одиниць та шiсть сотих. Це зображення є скороченим записом наступної суми:
636.36 = 6*102 + 3*101 + 6*100 + 3*10-1 + 6*10-2.
Будь-яке десяткове число
X = an-1 an... a1 a0 a-1 a-2...am,
де aÎ{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} - десятковi цифри, n - число розрядiв цiлої частини, m - число розрядiв дробової частини, можна записати у виглядi суми:
X = a n-1*10n-1 + an-2 *10n-2 +...+ a0 *100 + a-1 *10-1 +...+ a-m *10-m = a i*10i. (1)
Тут значення i називається розрядом, величина 10i - вагою i-го розряду, а n+m - довжиною числа. Число десять називаеться основою системи числення; воно дорiвнює вiдношенню ваг двох сусiднiх розрядiв.
Принципи побудови десяткової системи числення розповсюджуються i на iншi позицiйнi системи. Виберемо в якостi основи цiле додатне число q>1. За цифри системи числення, яка розглядається природньо взяти першi порядковi десятковi числа 0, 1, 2,..., q-1; число в системi з основою q буде мати вигляд Хg (нижнiй iндекс показує основу системи числення; в десяткових числах вiн буде вiдсутнiй).
Якщо q>10, довеведеться вводити спецiальнi символи, якi вiдповiдають цифрам десять, одинадцяти i т.д. Якщо q=16, цифрами будуть 0, 1,..., 9, A, B, C, D, E, F. Для даної системи числення справедливе вiдношення (1).
Двiйкова система числення отримала виключне розповсюдження в обчислювальнiй технiцi дякуючи можливостi зображення цифри кожного розряду електронної схеми з двома стiйкими станами та простотi виконання арифметичних операцiй.
Переведення чисел iз однiєї системи числення в iншу.
Розглянемо переведення десяткових чисел в системи з довiльною основою q, так як перетворення числа в десяткову здiйснюеться по вiдношенню (1).
Нехай задано цiле десяткове число X i його потрiбно перевести в систему числення з основою q, тобто знайти цифри ai в записi an-1 an-2... a1 a0. Скористаємося спiввiдношенням (1) та запишемо у загальному виглядi:
X = an-1 qn-1 + an-2 qn-2 +... +a1 q1 + a0.
Роздiлимо обидвi частини цiєї рiвностi (а фактично тiльки задане число X) на q:
X/q = an-1 qn-2 + an-2 qn-3 +... +a 1 (a0).
Як результат отримаємо цiлу частку
X(1) = an-1 an-2...a2 a1,
а залишок вiд дiлення дорiвнює цифрi a0. Частка X(1) має такий же вигляд, як i задане число X, тому для знаходження a1 потрiбно роздiлити X(1) на q. У результатi отримаємо нову частку
X(2) = an-1 an-2...a3 a2,
а залишок вiд дiлення дорiвнює a1. Повторення виконання вказаних дiй дозволяє знайти всi цифри ai.
Правило перше. Для переведення цiлого десяткового числа X в систему числення з основою q потрiбно послiдовно дiлити задане число X та утворенi частки на q до отримання частки, рiвної нулю. Шукане зображення є послiдовнiсть залишкiв вiд операцiй дiлення, причому останнiй залишок дає молодшу цифру.
Приклад 1. Перевести число 236 у вiсiмкову систему числення.
Виконуються операцiї дiлення:
_ 236 ¦ 8 _29 ¦ 8 _3 ¦ 8
16 29 24 3 0 0
_ 76 a1 = 5 a2 = 3
72
a0 = 4
Отже, вiсiмковий запис числа 236 мае вигляд 354.
Приклад 2. Перевести число 236 у двiйкову систему числення.
Частки Залишки
236 0 = a0
118 0 = a1
59 1 = a2
29 1 = a3
14 0 = a4
7 1 = a5
3 1 = a6
1 1 = a7
Записуючи знизу вверх, отримаємо 23610 = 111011002.
Розглянемо переведення правильних дробiв. Правильний десятковий дрiб X потрiбно перевести в систему числення з основою q, iнакше кажучи, потрiбно знайти цифри ai в записi (0.a-1 a-2...a-m). Використаємо спiввiдношення (1):
X = a-1 q-1 + a-2 q-2 + a-3 q-3 +... + a-m q-m.
Як i при переведеннi цiлих чисел, цифри ai знаходяться послiдовно. Помножимо обидвi частини приведеної рiвностi (а фактично тiльки заданий дрiб X) на q:
X*q = a-1 + a-2 q-1 + a-3 q-2 +... + a-m q-m+1.
Цифра a-1 дорiвнює цiлiй частинi отриманого добутку, а дробова частина його вiдповiдає новому правильному дробу X(1):
X(1) = a-2 q-1 + a-3 q-2 +... + a-m q-m+1.
При множеннi X(1) на q цiла частина добутку дає цифру a-2, а дробова частина вiдповiдає новому правильному дробу
X(2) = a-3 q-2 +... + a-m q-m+2.
Звiдси випливає наступне правило переведення.
Правило друге. Для переведення правильного десяткового дробу X в систему числення з основою q потрiбно послiдовно множити заданий дрiб i дробовi частини добуткiв, якi отримуються на q. Шуканi цифри нового зображення є послiдовнiсть цiлих частин добуткiв, причому перша iз них дає старшу цифру a.
Приклад 3. Перевести десятковий дрiб 0.8125 у вiсiмкову систему числення.
Виконуємо операцiї множення:
0|8125 0|5000
* | 8* | 8
а-1 = 6|5000 а-2 = 4|0000
Вiсiмкове зображення десяткового дробу 0.812510 є 0.648.
Приклад 4. Перевести десятковий дрiб 0.3 у двiйкову систему числення.
Виконуємо операцiї множення:
0|3 0|6 0|2 0|4 0|8 0|6
* |2* |2* |2* |2* |2* |2
a-1 = 0|6 a-2 = 1|2 a-3 = 0|4 a-4 = 0|8 a-5 = 1|6 a-6 = 1|2
Як видно, при умовi множення нiколи не отримаємо нульової дробової частини, тому десятковий дрiб не має точного двiйкового зображення, а з точнiстю до шостого двiйкового розряду дорiвнює 0.0100112.
Сформульованi правила переведення справедливi не тiльки для переведення десяткових чисел в систему числення з основою q, але i для переведення чисел iз системи числення з основою q1 в систему числення з основою q2. У цьому випадку операцiї множення та дiлення потрiбно виконувати по правилах системи числення з основою q2. Так як легко оперувати тiльки десятковими числами, то у бiльшостi випадкiв таке перетворення здiйснюеться через промiжну десяткову систему числення, що умовно можна записати у виглядi q1 ® 10 ® q2.
Розглянемо елементарнi прийоми взаємного перетворення двiйкових i вiсімкових (а також шiстнадцяткових) чисел. Так як 8=23 = 10002 та 16=24=10 0002, то цi перетворення виконуються без будь-яких обчислень.
Правило трете. Для переведення двiйкового числа в систему числення з основою 8 (16) потрiбно задане число влiво та вправо вiд крапки згрупувати по три (чотири) бiти, а потiм кожну групу записати однiєю вiсімковою (шiстнадцятковою) цифрою.
Приклад 5. Перевести 1111010.10112 у системи числення з основами 8 та 16.
1111010.10112 = 001 111 010. 101 100 = 172.548,
1111010.10112 = 0111 1010. 1011 = 7A.B16.
Правило четверте. Для переведення вiсiмкового (шiснадцяткового) числа у двiйкове потрiбно кожну цифру заданого числа записати у виглядi еквiвалентного їй трьохбiтного (чотирьохбiтного) двiйкового числа.
Приклад 6. Перевести числа 273.48 та 5AF.1816 у двiйкову систему числення.
273.48 = 010 111 011. 100 = 10111011.1
5AF.1816 = 0101 1010 1111. 0001 1000 = 10110101111.00011
Дата добавления: 2014-12-18; просмотров: 50 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |