Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Вычисление производных.

Определение производной через предел позволяет применять limit для дифференцирования функций. Найдите первую производную функции , используя равенство

>> syms h x

>> L=limit((atan(x+h)-atan(x))/h,h,0);

L =1/(1+x^2)

Вычисление производных любого порядка проще производить при помощи функции diff(f,x,n). Где:

f - дифференцируемая функция;

x- аргумент функции (переменная дифференцирования);

n-порядок производной (по умолчанию n=1).

Технология вычисления производной:

1. Определение символьных переменных с помощью функции syms().

2. Ввод функции дифференцирования f.

3. Ввод функции diff(f,x,n) с конкретными значениями x и n.

4. Получение решения после нажатия клавиши <Enter>.

Будем иллюстрировать методику на примере.

Пример.

Пусть необходимо найти первую и третью производные функции .Процедуры вычисления производных имеют вид:

>> syms x n

1.>> y=x*cos(x);

>> diff(y,x)

ans =cos(x)-x*sin(x)

>> diff(y,x,3)

ans =-3*cos(x)+x*sin(x)

Функция diff(f,x,n) позволяет вычислять производные функций, содержащих символьные переменные.

Пример.

Далее приведены решения для следующих трех функций:

,

,

.

Для функции вычислена третья производная.

>> syms a x n

>> y1=a*x^2;

>> y2=n^x;

>> y3=exp(-a*x^5)+log(a^n+x^a)-a*n/(x^3);

>> z1=diff(y1,x)

z1 =2*x*a

>> z2=diff(y2,x,3)

z2 =n^x*log(n)^3

>> z3=diff(y3,x)

z3 =-5*a*x^4*exp(-a*x^5)+x^a*a/x/(a^n+x^a)+3*a*n/x^4

Функция дифференцирования имеет следующие особенности. Если переменная дифференцирования в выражении отсутствует, а функция имеет вид , то программа не выдает ошибки. Она осуществляет дифференцирование по переменной функции в порядке обратном алфавиту.

Например, если функция содержит переменные , то дифференцирование будет выполнено по переменной . Если при этом в составе аргументов содержится переменная , то она имеет абсолютный приоритет, независимо от ее положения в алфавите переменных.

Приведем примеры на все перечисленные случаи.

>> syms a b c x w;

1.>> diff(a+b^2)

ans =2*b

2.>> diff(a+c*b^3)

ans =b^3

3.>> diff(a*w+c*b^3)

ans =a

4.>> diff(x*a*w+b^3)

ans =a*w

Функция может быть вектором и матрицей. В таких случаях откликом будет также вектор или матрица, элементами которой будут производные от исходных функций, образующих вектор или матрицу.

>> syms a x;

1.>> y=[x*sin(x);x^5;exp(a*x)];

>> diff(y,x)

ans =

[ sin(x)+x*cos(x)]

[ 5*x^4]

[ a*exp(x*a)]