Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Приведение к диагональному виду матрицы симметричного линейного преобразования

Читайте также:
  1. Административные и социально-политические преобразования
  2. Аналого-цифровые преобразователи. Принцип преобразования.
  3. В в мир истории. Осн напр европеизации страны в 1 четв 18 в. Формирование российского абсолютизма в первой четверти 18 века. Преобразования Петра 1.
  4. Военные преобразования при Иване Грозном.
  5. Вопрос 38. Октябрь 1917 г. и первые преобразования Советской власти.
  6. Вопрос. Ряды распределения, их виды. Правила построения рядов распределения. Методы преобразования рядов распределения.
  7. ВСЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИМЕЛИ СВОЕЙ ЦЕЛЬЮ В ПЕРВУЮ ОЧЕРЕДЬ УКРЕПЛЕНИЕ МОЩИ ГОСУДАРСТВА И ЦАРСКОЙ ВЛАСТИ.
  8. Государственные преобразования в России первой четверти XIX в. Правление Александра I.
  9. Далее говорится о том, что нужно от слушателя с приведением ряда простых, правдивых примеров.
  10. Задание 6. Элементы геодезических работ при трассировании сооружений линейного типа

1. Пусть - симметричное линейное преобразование пространства По теореме 4 существуют три взаимно ортогональных собственных вектора линейного преобразования . Пронормируем эти векторы, положив

Тогда векторы также будут собственными векторами линейного преобразования и, кроме того, они образуют ортонормированный базис. Так как

то в этом базисе линейное преобразование будет описываться диагональной матрицей

Поскольку исходный базис и новый базис являются ортонормированными, переход от одного базиса к другому задается ортогональной матрицей так что

Поэтому матрицы преобразования в старом и новом базисах связаны зависимостью

Итак, мы доказали следующую теорему.

Теорема. Матрица симметричного линейного преобразования может быть приведена к диагональному виду путем ортогонального преобразования базиса.

Геометрически эта теорема означает, что симметричное линейное преобразование представляет собой совокупность трех последовательных растяжений или сжатии относительно трех взаимно перпендикулярных осей, определяемых векторами , так как именно такое линейное преобразование описывается диагональной матрицей.

2. Далее встает вопрос: единственным ли образом может

быть выбран базис , в котором матрица симметричного линейного преобразования имеет диагональный вид? Здесь могут представиться три случая.

1) Если то этим собственным значениям соответствует единственная система (с точностью до изменения направления и нумерации векторов), состоящая из трех взаимно ортогональных собственных векторов . В самом деле, вектор , не коллинеарный одному из этих трех векторов, не может быть собственным вектором

преобразования . Пусть, например,

в этом случае вектор

не коллинеарен вектору , если и, значит, вектор не является собственным.

2) Пусть - единичные собственные векторы, отвечающие этим собственным значениям. Тогда любой вектор, лежащий в плоскости порожденной векторами будет собственным но отношению к преобразованию . В самом деле, если

то

Поэтому любая взаимно ортогональная пара единичных векторов, лежащая в плоскости , может быть принята за векторы

Симметричное линейное преобразование представляет собой в этом случае произведение двух преобразований: подобия с коэффициентом и плоскости, перпендикулярной оси и растяжения с коэффициентом вдоль этой оси.

3) Пусть, наконец, В этом случае любой вектор

пространства будет собственным.

Преобразование есть подобие во всем пространстве с коэффициентом .

В качестве базиса можно взять любую тройку единичных и попарно ортогональных векторов.

3. При изучении симметричных линейных преобразований в плоскости могут представиться следующие два случая:

1) В базисе, состоящем из собственных векторов, матрица преобразования будет иметь вид

а само преобразование есть произведение двух растяжений вдоль двух перпендикулярных собственных направлений.

2) В этом случае любой вектор плоскости будет собственным. В любом ортонормированном базисе преобразованию являющемуся подобием, соответствует матрица

 




Дата добавления: 2014-12-18; просмотров: 75 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.008 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав