Читайте также:
|
|
1. Пусть - симметричное линейное преобразование пространства По теореме 4 существуют три взаимно ортогональных собственных вектора линейного преобразования . Пронормируем эти векторы, положив
Тогда векторы также будут собственными векторами линейного преобразования и, кроме того, они образуют ортонормированный базис. Так как
то в этом базисе линейное преобразование будет описываться диагональной матрицей
Поскольку исходный базис и новый базис являются ортонормированными, переход от одного базиса к другому задается ортогональной матрицей так что
Поэтому матрицы преобразования в старом и новом базисах связаны зависимостью
Итак, мы доказали следующую теорему.
Теорема. Матрица симметричного линейного преобразования может быть приведена к диагональному виду путем ортогонального преобразования базиса.
Геометрически эта теорема означает, что симметричное линейное преобразование представляет собой совокупность трех последовательных растяжений или сжатии относительно трех взаимно перпендикулярных осей, определяемых векторами , так как именно такое линейное преобразование описывается диагональной матрицей.
2. Далее встает вопрос: единственным ли образом может
быть выбран базис , в котором матрица симметричного линейного преобразования имеет диагональный вид? Здесь могут представиться три случая.
1) Если то этим собственным значениям соответствует единственная система (с точностью до изменения направления и нумерации векторов), состоящая из трех взаимно ортогональных собственных векторов . В самом деле, вектор , не коллинеарный одному из этих трех векторов, не может быть собственным вектором
преобразования . Пусть, например,
в этом случае вектор
не коллинеарен вектору , если и, значит, вектор не является собственным.
2) Пусть - единичные собственные векторы, отвечающие этим собственным значениям. Тогда любой вектор, лежащий в плоскости порожденной векторами будет собственным но отношению к преобразованию . В самом деле, если
то
Поэтому любая взаимно ортогональная пара единичных векторов, лежащая в плоскости , может быть принята за векторы
Симметричное линейное преобразование представляет собой в этом случае произведение двух преобразований: подобия с коэффициентом и плоскости, перпендикулярной оси и растяжения с коэффициентом вдоль этой оси.
3) Пусть, наконец, В этом случае любой вектор
пространства будет собственным.
Преобразование есть подобие во всем пространстве с коэффициентом .
В качестве базиса можно взять любую тройку единичных и попарно ортогональных векторов.
3. При изучении симметричных линейных преобразований в плоскости могут представиться следующие два случая:
1) В базисе, состоящем из собственных векторов, матрица преобразования будет иметь вид
а само преобразование есть произведение двух растяжений вдоль двух перпендикулярных собственных направлений.
2) В этом случае любой вектор плоскости будет собственным. В любом ортонормированном базисе преобразованию являющемуся подобием, соответствует матрица
Дата добавления: 2014-12-18; просмотров: 75 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |