Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Рассмотрим квадратичную форму

Приведем соответствующее ей симметричное линейное преобразование к простейшему виду. Для этого перейдем к базису , состоящему из трех попарно ортогональных единичных собственных векторов. В таком базисе матрица преобразования станет диагональной:

здесь - собственные значения, соответствующие векторам базиса .

Что касается формы то она в новом базисе примет вид

здесь - координаты векторов и в базисе .

Таким образом, всякая квадратичная форма может быть приведена к сумме квадратов (или, как еще говорят, к каноническому виду) с помощью перехода к ортонормированному базису, состоящему из единичных собственных векторов симметричного линейного преобразования соответствующего форме

Направления называются главными направлениями формы соответствующими собственным значениям

3. Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если для любого вектора она принимает только положительные (отрицательные) значения.

Поскольку указанное свойство должно иметь место в любом базисе, то оно, в частности, должно иметь место и в том базисе , в котором эта форма имеет канонический вид (1). Но легко видеть, что для того, чтобы выражение (1) при любых было положительным (отрицательным), необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения были положительными (отрицательными).

Однако важно получить условие, которое даст нам возможность выяснить, будет ли положительно или отрицательно определенной квадратичная форма , заданная в произвольном ортонормированном базисе Пусть - матрица этой квадратичной формы в рассматриваемом

базисе. Назовем ее главными минорами величины

Условие положительной определенности формы , которое называется критерием Сильвестра, может быть теперь сформулировано следующим образом.

Теорема. Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все ее главные миноры в некотором базисе были положительными.

Докажем сначала эту теорему для случая, когда квадратичная форма задана на плоскости Форма записывается в виде

Введем новое вспомогательное переменное Тогда форма может быть переписана так:

Главный минор квадратичной формы лишь знаком отличается от дискриминанта квадратного трехчлена, стоящего в скобках. Если и этот квадратный трехчлен не меняет знака при изменении параметра . Если то этот трехчлен будет положительным при

любых значениях параметра Следовательно, при квадратичная форма на плоскости будет положительно определенной формой. Легко видеть, что и, обратно, если В самом деле, положим Тогда

и так как

Перейдем теперь к доказательству критерия Сильвестра в трехмерном случае. При этом форма в базисе может быть подробно записана так:

Если же перейдем к базису , составленному из векторов, направленных по главным направлениям этой формы, то она примет канонический вид:

Так как главный минор совпадает с инвариантом этой формы, то

Предположим теперь, что форма положительно определена. Тогда Чтобы доказать положительность миноров , точно рассмотреть форму на плоскости и воспользоваться доказанным выше критерием Сильвестра для случая

Обратно, пусть все главные миноры формы положительны. Тогда

и оказываются возможными два случая: либо все три собственных значения положительны, либо одно из них положительно, а два других отрицательны. В первом случае квадратичная форма будет положительно определенной, и обратное утверждение доказано.

Пусть теперь одно из чисел положительно, а два других отрицательны, например: Тогда на плоскости форма отрицательно определена. Но, с другой стороны, па плоскости форма равна

и, в силу положительности первых двух главных миноров, она положительно определена па этой плоскости. Отсюда следует, что на прямой, но которой пересекаются плоскости и форма будет одновременно положительно и отрицательно определенной. Полученное противоречие показывает, что все должны быть положительными.

Тем самым обратное утверждение также доказано.

Замечая, что условие отрицательной определенности квадратичной формы будет в то же время условием положительной определенности формы

получаем необходимые и достаточные условия отрицательной определенности квадратичной формы в виде