Читайте также: |
|
№ | Длина маятника | a (m) | w1 | w2 | w1t | w2t | |
L1 | L2 | ||||||
Контрольные вопросы
1) Что такое собственная частота, от чего она зависит?
2) Синфазные и противофазные колебания связанных маятников?
3) Биения, частота биений.
4) Как в работе определяется частота биений?
5) Вынужденные колебания системы двух связанных маятников, явление «двугорбого резонанса».
СТРУНЫ МЕТОДОМ РЕЗОНАНСА
Цель работы: изучение колебаний струны, получение на струне стоячих волн, наблюдение картины распределения амплитуд и количественная проверка формулы для частот колебаний струны.
Оборудование: установка для изучения колебаний струны, генератор сигналов низкочастотный Г3-18, набор разновесов.
Теоретическое введение
T
a(x+dx)
a(x)
x x+dx
Уравнение типа (3) называются волновыми уравнениями и допускают разделение переменных. В общем случае отклонение у зависит от переменных х и t сложным образом. В случае стоячей волны решение сильно упрощается. Стоячая волна обладает той особенностью, что все точки струны колеблются одновременно (хотя и с различными амплитудами).
Таким образом, решение уравнения (3) можно представить в виде периодической функции времени B(t), амплитуда которой А зависит только от координаты х:
Искомое решение волнового уравнения имеет, следовательно, вид:
где yo - некоторая постоянная, определяющая амплитуду колебаний и не имеющая для нас существенного значения.
Рассмотрим (6) несколько подробнее. Точки, в которых sin(кх) обращается в нуль, называются узлами стоячей волны. Между двумя соседними узлами все участки струны колеблются в фазе (их скорости имеют одинаковое направление), а при переходе через узел фаза колебаний меняется на 180o вследствие изменения знака sin(кх). Амплитуда колебаний меняется вдоль струны по гармоническому закону, а частота колебаний всех точек струны постоянна и равна кс.
Скажем несколько слов о знаке перед к2. Если изменить этот знак, то решения уравнений (5) и (5') превратятся в экспоненты с действительными показателями, описывающие монотонное, а не периодическое движение, что не соответствует картине стоячей волны.
Положительные значения к2 нельзя выбирать произвольно. В самом деле, граничные условия у(0,t)=y(L,t) =0, где (L – длина струны) дают:
sin (kL)=0
или
kL=p n (7)
n=1,2,3,4...
Как легко видеть, n определяет число пучностей (но не узлов!) колеблющейся струны.
Таким образом, волновому уравнению с данными граничными условиями удовлетворяют не любые функции вида (6), но лишь те из них, для которых выполняется условие (7).
Заметим теперь, что для частоты колебаний n из (6) следует:
kc=2pn (8)
Подставив это выражение в (7), получим с помощью (2) формулу для собственных частот струны, т.е. частот, при которых в струне устанавливаются стоячие волны.
(9)
Заметим, что определяемые формулой (9) собственные частоты не зависят от модуля Юнга материала струны.
С помощью формулы (9) получим вместо (6):
(10)
Из этого соотношения видно, что точки струны с координатами х=0, L/n, 2L/n,…, L являются узлами. Так как узлы все время остаются в покое, то переноса энергии по струне не происходит (энергия не может перейти через узлы). Передача энергии по струне может быть осуществлена только бегущей волной.
Отметим, что волновому уравнению удовлетворяет не только решение в форме (10), но и сумма выражений типа (10') с различными n.
(10’)
Таким образом, в струне могут одновременно существовать колебания с различными собственными частотами. Так, наряду с основным тоном (n =1) могут возбуждаться его гармоники
(n =2,3,4,...).
Выясним, при каких условиях развитая выше теория, описывающая, строго говоря, только движение идеально гибкой струны в вакууме, может быть применена для реальной струны. С этой целью сделаем следующие замечания.
1. При колебаниях реальной струны всегда происходят потери энергии (часть теряется вследствие трения о воздух; другая часть уходит через конец струны и т.д.). Для поддержания незатухающих колебаний служит вибратор. Если энергия потерь в точности компенсируется энергией, поступающей от вибратора, то в струне можно наблюдать стоячие волны. Но теперь по струне
должна происходить передача энергии, поэтому наряду со стоячими будут существовать бегущие волны, в результате чего узлы окажутся несколько размытыми. Если, однако, потери энергии за период малы по сравнению с запасом колебательной энергии в струне, то искажение стоячих волн бегущей волной не очень, существенно.
где a - амплитуда бегущей волны (которую следует измерять по размытию узла), а уo - амплитуда стоячей волны (определяемая, естественно, в пучности, примыкающей к узлу).
2. При наблюдении стоячих волн на установке легко заметить, что струна не колеблется в одной плоскости, а совершает вращательное движение вокруг положения равновесия. Любое вращение может, однако, быть представлено, как сумма колебаний в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, так что все.
предыдущие выводы остаются в силе.
Дата добавления: 2014-11-24; просмотров: 31 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |