Читайте также:
|
|
Разделить переменные в уравнениях Максвелла можно только в том случае, если т.е. если равна нулю объемная плотность зарядов. Для вакуума и в какой-то мере для воздуха это очевидно. Покажем, что это приближение справедливо и для проводников в определенном диапазоне частот электромагнитных волн.
Дополнительно к третьему уравнению Максвелла
рассмотрим еще два материальных уравнения, а именно, закон Ома в дифференциальной форме
и закон сохранения заряда также в дифференциальной форме
Из последнего уравнения с учетом предыдущих получаем:
Следовательно,
где
есть константа среды, которую называют временем релаксации несвязанных зарядов. По порядку величины поэтому для проводников () , а для горных пород () . Поэтому даже для горных пород, в которых распространяются электромагнитные волны мегагерцового диапазона (не говоря уже о волнах меньшей частоты), несвязанные (свободные) заряды успевают колебаться вместе с электрическим полем. Следовательно, для большинства практических задач можно считать, что
В этом случае система уравнений Максвелла приобретает вид:
С этими уравнениями рассматривают также закон Ома в виде: .
Возьмем ротацию от первого уравнения и выполним простейшие преобразования.
Совершенно аналогичное уравнение получается и для магнитной составляющей электромагнитной волны, если взять ротацию от второго уравнения Максвелла.
Уравнения (2.23) и (2.24) иногда называют телеграфными уравнениями. Вообще говоря, это волновые уравнения для проводящих сред, в которых энергия электромагнитной волны рассеивается (диссипирует) за счет выделения в проводнике джоулева тепла Дж/м3.
Опять для простоты рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси OZ, т.е. положим, что
Тогда волновое уравнение (2.23) примет следующий вид:
Будем искать решение уравнения (2.25) в виде плоской гармонической волны:
.
Подставляя это решение в (2.25), получаем так называемое дисперсионное уравнение – уравнение связи волнового числа и частоты:
из которого имеем
Из (2.26) видно, что для проводящих сред волновое число является комплексным числом. Естественно, что в предельном случае при волновое число становится действительным.
Найдем действительную и мнимую части волнового числа. Пусть
Тогда
Сравнивая с (2.26), получаем
Отсюда имеем
В этих формулах величина
называется тангенсом угла диэлектрических потерь. По своей сути это есть отношение токов проводимости к токам смещения, которые возникают в среде в результате воздействия на нее гармонической электромагнитной волны.
В разведочной (полевой) геофизике практический интерес представляет предельный случай, когда токи проводимости превалируют над токами смещения, т.е. когда . В этом случае непосредственно из (2.26) следует, что
Поэтому
и
Равенство (2.29) можно получить и из уравнений (2.27) и (2.28) в предельном переходе
Итак, решение уравнения (2.25) можно записать в виде
В приближении хорошо проводящей среды и не очень высоких частот фазовая скорость будет равна
Из (2.30) следует, что фазовая скорость, а следовательно и длина электромагнитной волны зависят от частоты, а именно
Эту зависимость называют дисперсией электромагнитных волн.
Амплитуда плоской электромагнитной волны при прохождении ее через проводящую среду экспоненциально затухает по закону
Расстояние
на котором амплитуда волны уменьшается в e раз, называется толщиной скин-слоя. Это эффективная глубина проникновения электромагнитной волны в проводник.
Рассмотрим два примера.
1. Плоская электромагнитная волна частоты 1 кГц распространяется в горной породе с УЭС, равным 102 Ом∙м (.
Фазовая скорость этой волны равна
что много меньше скорости света в вакууме.
Толщина скин-слоя равна
2. Плоская электромагнитная волна частоты 1 МГц распространяется в металлическом проводнике с электропроводностью
Фазовая скорость этой волны равна
а скин-слой имеет толщину всего
Миллиметровый слой хорошего проводника амплитуду электромагнитной волны мегагерцового диапазона ослабит примерно в раз (в 1000 раз!).
Дата добавления: 2014-12-18; просмотров: 35 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |