Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Лекция 15. Граничные задачи для уравнения Гельмгольца. Собственные функции и собственные значения

17.1. Декартовы координаты. Однородное уравнение Гельмгольца будет встречаться в дальнейшем при постановке разных граничных задач. Случай декартовых координат является простейшим, и поэтому именно с него начинается изложение. Уравнение Гельмгольца

(17.1)

при использовании декартовой системы координат (х, у, z) принимает вид:

(17.2)

Рассмотрим получение его решений методом разделения переменных (п.11.1).

Ожидаемое решение и = и (х, у, z) представляется в виде произведения

и(х, у, z) = X(x)Y(y)Z(z), (17.3)

где Х (х), Y (y) и Z (z) - функции координат х, у, и z соответственно. Подставим представление (17.3) в уравнение (17.2) и разделим все члены на u = XYZ. Это дает:

. (17.4)

Как видно, первые три члена - функции разных аргументов, а третий постоянен. Это дает основание (§11 п. 1) положить каждую из указанных функций константе; назвав введённые константы ,получаем три обыкновенных дифференциальных уравнения:

, причём (17.5)

Это уже много раз встречавшиеся уравнения типа (7.7) с решениями (7.8). Таким образом, сразу можно выразить решение (17.3) уравнения (17.2):

(17.6)

Данная символическая запись означает, что каждый из сомножителей решения (X, Y и Z) можно брать как в форме верхней строчки, так и в форме нижней. Очевидно, что записанная функция (17.6) выражает решение уравнения (17.2) при любых постоянных коэффициентах А, В,..., Т, W и любых «постоянных разделения» , подчинённых равенству в нижней строке.

В случае двумерного уравнения Гельмгольца

(17.7)

записываемого в декартовых координатах как

(17.8)

имеем:

(17.9)

17.2. Цилиндрические координаты.В цилиндрической системе координат (r, φ, z) согласно (6.17) уравнение (17.1) примет вид:

(17.10)

Полагая

и (r, φ, z) = U (r) W (φ) Z (z), (17.11)

где U (r), W (φ) и Z (z) - функции координат r, φ и z соответственно. В результате подстановки (17.11) в (17.10) и деления на и = UWZ получаем:

(17.12)

Третий член есть функция только координаты z и, таким образом, независим от предыдущих. Это дает основание (§ 11 п. 1) положить его равным некоторой постоянной; последнюю обозначим - χ ²_z. Оставшиеся слева члены в сумме также равны постоянной величине, а именно . Поэтому имеем следующие уравнения:

(17.13)

эквивалентные вместе первоначальному уравнению (17.12).

Далее произведём операцию разделения переменных в первом из уравнений (17.13), которое после умножения всех членов на r² принимает форму:

.

Второй член (функция φ) не зависит от первого и третьего (функций r). Поскольку сумма всех членов - нуль, введём, как делалось в п. 11, постоянные п² и - п², которые в сумме равны нулю, и получим:

(17.14)

Легко убедиться, что в первой строчке (17.14) мы имеем не что иное, как уравнение Бесселя относительно U как функции аргумента χr. Действительно, после дифференцирования по r и умножения всех слагаемых на U /χ² имеем: (17.15)

Оно совпадает с уравнением (16.1) при замене х на χr.

Итак, объединяя результаты (17.13) и (17.14) с учётом (17.15), получаем совокупность следующих обыкновенных дифференциальных уравнений, эквивалентную уравнению Гельмгольца (17.10):

(17.16)

Общие решения их известны, причём каждое можно записать в двух формах: с использованием функций Бесселя и Неймана или Ханкеля для первого уравнения согласно (16.6 а, б) и с использованием функций тригонометрических или экспоненциальных - для двух последних уравнений. Таким образом, находим следующее выражение и = UWZ:

u(r, φ_,z) =

17.17

Форма записи имеет тот же смысл, что и в (17.6); аналогично также значение входящих в выражение постоянных.

Обычно область, в которой ищется решение, не ограничена по углу φ. В этом случае М(r, φ, z) и М(r, φ + 2π, z) - это одна и та же точка наблюдения, а следовательно, u (r, φ, z) и и (r, φ + 2π, z) выражают решение в одной и той же точке, т. е. должно быть:

, (17.18)

что возможно только при целом п (или равном нулю): п = 0, ±1, ±2,....

При отсутствии зависимости по z уравнение Гельмгольца (17.1) записывается в форме (17.7), т. е. в цилиндрических координатах:

. (17.19)

Его решение имеет вид:

(17.20)

Выбор того или иного варианта решения определяется граничными условиями конкретной электродинамической задачи.

Лекция 15. Граничные задачи для уравнения Гельмгольца. Собственные функции и собственные значения

18.1. Постановка задач. Применение прямоугольных координат. На прошлой лекции методом разделения переменных была найдена общая форма решения уравнения Гельмгольца в декартовых координатах. Возьмем теперь объём V с ограничивающей его поверхностью S, и поставим следующую первую граничную задачу:

(18.2)

Требуется найти функцию и (х, у, z) вида (17.6), обращающуюся в нуль на всех гранях параллелепипеда. Проще искать её в форме первой строчки (17.6):

(18.3)

Налагая граничное условие u(0, х, у) = 0, потребуем выполнения равенства

;

(условие должно удовлетворяться при всех возможных значениях у и z).

Отсюда А = 0. Далее, требуя обращения в нуль и(х, 0, z) и и(х, у, 0), точно так же приходим к выводу, что С = 0 и Е = 0, а следовательно,

, (18.4)

где и₀ - постоянная, образовавшаяся как произведение неопределённых коэффициентов В, D и F.

Ввиду линейности и однородности уравнения Гельмгольца в (18.2) коэффициент и₀ так и останется неопределённым: решение и(х, у, z) допускает умножение на любую постоянную. Что же касается величин χ_х, χ _у и χ_z,то их определим, введя в рассмотрение ещё не использованные граничные условия из (18.2). Так как и(а, у, z) = 0 при всех возможных у и z, то, как видно из (18.4),

sin χ _x a = 0,

откуда следует, что аргумент синуса χ _x a равен нулю или кратен числу π: χ_ха = т π, т = 0, 1, 2,... (отрицательные целые не дают ничего нового, изменяя лишь знак решения, который вообще говоря, произволен). Итак, найдено:

χ_х= т π/a, т = 0, 1, 2,… (18.5а)

Аналогично из граничных условий и(х, b, z) = 0 и и(х, у, с) = 0 получаем:

χ_y= n π/b, п = 0, 1,2, … (18.5б)

и χ_z= p π/c, p = 0, 1,2, … (18.5 e)

При равном нулю т, п или р очевидно и(х, у, z) = 0. Но всякое сочетание трёх целых чисел т, п и р определит являющуюся решением (18.4) функцию

(18.6)

причём согласно (18.3)

(18.7)

есть то значение коэффициента k² в (18.2), при котором и^тпр является решением задачи.

Образующие бесконечную последовательность решения и^тпр называются собственными функциями задачи, а числа k_тпр - соответствующими им собственными значениями.

Говорят, что граничная задача (18.2) есть задача на собственные значения.

Рис. 18.2

Для двумерного уравнения Гельмгольца (17.7) аналогичная (18.2) первая граничная задача формулируется в виде:

_(18.8)

Отправляясь от общей формы решения (17.9), прежним способом находим, что она имеет собственные функции

(18.9)

при собственных значениях

. (18.10)

Решения определены в прямоугольной области S с контуром L (рис. 18.2а).

Поставим, далее, вторую граничную задачу для уравнения Гельмгольца

(18.11)

т. е. для области V в виде параллелепипеда (рис. 18.1 б):

(18.12)

Решение будем искать, как и ранее, исходя из его общей формы (18.3). На основании граничного условия ди/дх = 0 при х = 0 пишем:

при х = 0.

Отсюда B = 0. Аналогично приходим к выводу, что D = 0 и F = 0, а потому

(18.13)

где u ₀ - постоянная, образовавшаяся как произведение неопределенных коэффициентов А, С и Е.

Граничные условия при х = а, у = b и z = с приводят к формулам, выражающим χ_х, χ_y и χ_z, которые совпадают с ранее полученными формулами (18.5а, б, в). Действительно, например, граничное условие ди/дх = 0 при х = а, как видно из (18.13), дает:

,

a отсюда следует (18.5а).

Итак, собственные функции второй граничной задачи (18.12) имеют вид:

(18.14)

а соответствующие им собственные значения k²_mnp по-прежнему даются формулой (18.7). Но в отличие от первой граничной задачи теперь функции и^0np, и^00p и другие с нулевыми индексами существуют (не равны тождественно нулю); при этом собственная функция и⁰⁰⁰ есть константа.

Вторая граничная задача для двумерного уравнения Гельмгольца (17.7)

(18.15)

(рис. 18,2 6) имеет, как нетрудно убедиться прежним способом, собственные функции

(18.16)

при собственных значениях вида (18.10). Собственные функции и^0п, и^т0 и u⁰⁰, не равны тождественно нулю, как в случае первой граничной задачи (18.8). Последняя из них есть константа.

В заключение отметим, что в п.7.2 была рассмотрена первая граничная задача для одномерного уравнения Гельмгольца.

18.2. Применение цилиндрических координат. Взяв уравнение Гельмгольца в цилиндрических координатах (17.10), поставим первую граничную задачу (18.1) для цилиндрической области V (рис. 18.3 а):

(18.17)

и общую форму решения согласно (17.17) выберем в виде:

и (r, φ, z) = (18.18)

т. е. оставляя выражение азимутальной зависимости в двух вариантах. Поскольку должно соблюдаться условие азимутальной периодичности (17.18), то п - нуль или целое: п = 0, 1, 2,... (берём только положительные числа, так как изменение знака покрывается неопределенностью констант С, D и Q, Т).

Области V принадлежат точки оси цилиндра, а потому согласно (16.7), полагаем в (18.18) В = 0. Граничное условие на цилиндрической поверхности (r = R) требует выполнения равенства:

.

Отсюда (п.16.7):

(18.19)

где В_пт - корни уравнения (16.37).

Налагая граничные условия при z = 0 и z = L, как и ранее в п. 1, имеем: Е = 0, sin χ_zL = 0; последнее означает, что

(18.20)

На основании (18.18) теперь остаётся заключить, что решения граничной задачи (18.17) - это собственные функции

и (r, α, z) = и^птp =

(18.21)

Рис. 18.3

(лишние постоянные коэффициенты опущены) при собственных значениях

(18.22)

Продолжая рассматривать цилиндрическую область, сформулируем вторую граничную задачу (18.11) для уравнения (17.10), рис. 18.3б:

(18.23)

Будем искать её решение, исходя из общей формы (18.19) и констатируя, что по-прежнему п = 0, 1, 2,...,и В = 0. Граничное условие на цилиндрической поверхности в данном случае влечёт равенство

из которого следует (§ 16 п. 7): , (18.24)

где А_пт - корни уравнения (16.38).

Согласно граничным условиям при z = 0 и z = L (ср. п. 1), F= 0 и , так что определяется равенством (18.20).

Итак, вторая граничная задача (18.23) имеет собственные функции

(18.25)

при собственных значениях (18.26)

Заметим, что в случае первой граничной задачи (18.17) собственные функций u^nm0 тождественно равны нулю; теперь же они существуют.

Перейдём к двумерным задачам. Первую граничную задачу для уравнения (17.19) поставим в разных областях S (рис 18.4 а, б, в, г).

Рис 18.4

Соответственно этому,

: (18.27)

а) при (рис. 18.4а)

и = 0 при r = R; (18.27 a)

б) при (рис. 18.4б)

и = 0 при r = R; и = 0 при (18.27б)

в) при (рис. 18.4 в)

и = 0 при ; (18.27в)

г) при (рис. 18.4 г)

и = 0 при ; и = 0 при (18.27г)

Исходя из общей формы решения (17.20)

, (18.28)

и повторяя предыдущие рассуждения, получим собственные функции и собственные значения задачи (18.27, 27а), рис. 18.4а:

(18.29)

В случае задачи (18.27, 27 6), рис. 18.4б, должно быть

.

Поэтому С = 0, и в отличие от предыдущего,

(18.30)

т. е. п является целым, только если секториальная область задачи составляет целую часть полукруга. Собственные функции и собственные значения имеют вид:

. (18.31)

.

В задаче (18.27, 27в), рис. 18.4 в, исключены точки оси (r = 0), а потому В ≠ 0 в (18.28). Налагая граничные условия (18.27в), пишем:

а отсюда (18.32)

Это не что иное как трансцендентное уравнение относительно χ = χ _пт Кроме того из записанных соотношений следует, что

Поэтому собственные функции задачи имеют вид

, (18.33)

а собственные значения χ² = χ _пт ² - это квадраты корней уравнения (18.32), входящих также в (18.33).

Далее, вы можете убедиться самостоятельно, что собственные функции задачи (18.27, 27 г) имеют вид

, (18.34)

где n = kπ/α ₀ (k = 1, 2, …), а χ = χ _пт - корни уравнения (18.33), в котором подразумевается то же n.

Вторая граничная задача для уравнения (18.27) формулируется со следующими условиями:

а) при 0 ≤ r < R; 0 ≤ α < 2 π (рис. 18.4 а)

(18.35)

б) при 0 ≤ r < R; 0 ≤ α < α ₀ (рис. 18.4 б)

(18.35б)

в) при R ₁ < r < R₂; 0 ≤ α < 2 π (рис, 18.4 в)

(18.35 в)

г) при R₁ < r < R₂; 0 ≤ α < α ₀ (рис. 18.4 г)

(18.35 г)

Опуская промежуточные выкладки, смысл которых ясен из предыдущего, выпишем лишь окончательные результаты для поставленных задач.

Собственные функции и собственные значения задачи (18.27,35 а), рис. 18.4 а, имеют вид: (18.36)

Для задачи (18.27,35 б), рис. 38.4 б

(18.37)

В случае (18.27,35 в), рис. 18.4 в

, (18.38)

причем χ = χ _пт - корни уравнения

(18.39)

Наконец, для задачи (18.27.35 г), рис. 18.4 г,

, (18.40)

где n = kπ/α ₀ (k =0, 1, 2, …), а χ = χ _пт - корни уравнения (18.39), с тем же n.

18.3. Заключительные замечания. Мы рассмотрели ряд задач на собственные значения для уравнения Гельмгольца. Прямоугольным и цилиндрическим координатам было отдано предпочтение потому, что описываемые в них области представляют наибольший интерес для дальнейшего; полученные результаты пригодятся, например, при изучении волноводов. Читатель может, воспользовавшись данными из § 17 п. 3, в качестве упражнения поставить и решить граничные задачи (18.1) и (18.11) также для областей, ограниченных сферическими поверхностями.

Предметом нашего внимания было скалярное уравнение Гельмгольца. Что касается векторного уравнения, то ограничимся пока лишь постановкой двух важных для электродинамики граничных задач, также являющихся задачами на собственные значения: