Читайте также:
|
|
Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rank A < n.
Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:
Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:
а любое другое решение является их линейной комбинацией. Вектор-решения образуют нормированную фундаментальную систему.
В линейном пространстве множество решений однородной системы линейных уравнений образует подпространство размерности n - r; - базис этого подпространства.
6)продолжение.Введем для системы линейных уравнений (1) следующие матрицы:
.
Систему (1) представим в матричной форме А * Х = В, которая эквивалентна исходной. Действительно, если перемножить матрицы А и Х и приравнять элементы матрицы-произведения к соответствующим элементам матрицы В, то получим систему уравнений (1).
Умножим обе части уравнения А * Х = В слева на матрицу А -1, получим А -1 * (А Х) = А -1 В или (А -1 А) Х = А -1 В.
Так как А -1 * А = Е, то Е*Х = А -1 * В или Х = А -1 * В.
Эта формула дает решение системы в матричной форме.
Пример. Решить систему
используя обратную матрицу.
Решение. Найдем обратную матрицу к матрице системы .
Определитель матрицы А:
.
Так как определитель матрицы А отличен от 0, то обратная матрица существует. Найдем ее по формуле , вычислив предварительно алгебраические дополнения. Получим:
.
Найдем матричное решение системы:
.
Ответ: х 1 = 1; х 2 = 1; х 3 = 1.
7) продолжение. В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn справедливо равенство:
В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы и , либо набор состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом.
Дата добавления: 2014-12-18; просмотров: 33 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |