Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Метод касательных

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [a, b]. Пусть на [a, b] есть корень и только один, т. е. f(a)*f(b)<0, график функции проходит через точку A(a, f(a)), B(b, f(b)) и f’(x), f’’(x) -знакопостоянны на [a, b].

В точке B(b, f(b)) проводим касательную. Уравнение касательной запишется так:

Для нахождения точки пересечения этой прямой с осью Ox нужно принять y=0, а x=x₁, тогда получаем: 0=f(b)+f’(b)(x₁-b)

f’(b)(x₁-b)= - f(b)

Если касательная проведена в точку B(b, f(b)), то получаем x₁, найдя значение x₁ по формуле, вычислим x₁ и найдём точку B₁(x₁, f(x₁)), тогда

Процесс продолжается неограниченно. x₁,…, x_n являются приближёнными значениями корня.

Замечание. Для того, чтобы точка пересечения касательной с осью Ox лежала внутри [a, b] касательную надо проводить через тот конец отрезка [a, b], где знак функции и второй производной совпадают.

Методами математического анализа можно доказать, что последовательность x₁,…, x_n есть последовательность приближённых значений корня, она монотонна, сходится и её предел равен истинному значению корня, процесс закончить, когда |x_n+1-x_n|<E.

Код программы «Задание 2»

program method_of_kasatelnue

real eps, sh, xi,fi,ff,ff1,a,b! описание действительных переменных

a=1! начало отрезка

b=!конец отрезка

eps=1d-1!погрешность, 1д-1=0,1

sh=1d-1!шаг расбиения

do 10 xi=a,b,sh! цикл от а до б с шагом аш, 10-метка, т е цикл заканчивается там где ниже стоит 10

call F(ff,xi)! значение функции ф в точке хи

call F(ff1,xi+sh)! значение функции ф в точке хи+шаг

fi=ff*ff1!перемножаем эти значения

if (fi.le.0) then!less <, если это значение меньше 0 то идем дальше

call F(ff,xi)! значение функции ф в точке хи

call F2(ff1,xi)! значение функции ф(ф2-вторая производная) в точке хи

if(ff*ff1.gt.0) then!grate >, если произведение этих значений больше 0 то х0=хи т е а

x0=xi

else

x0=xi+sh!f(b)*f''(b)>0,то хи=б

endif

do 5

call F(ff,x0)! значение функции в точке х0

call F1(ff1,x0)! значение функции в точке х0 (ф1-первая производная)

x1=x0-ff/ff1! общая формула нахождения точек

if(abs(x1-x0)-eps) 6,11,11!если результат<0 то по метке 6|если результат =0 то по метке 11|если результат >0 то по метке 11

11 x0=x1

5 continue

6 write (*,*) 'Koren na promegutke[',xi,',', xi+sh,']'!вывод на экран интервала

write (*,*) 'x=', x1!вывод на экран решения т е х

call F(ff,x1)! значение функции в точке х

write (*,*) 'F(x)=', ff

x0=0d0! 0д0=0

x1=0d0

fi=0d0

endif

10 continue

end program method_of_kasatelnue

! функция

subroutine f(x_n,x)

real x_n,x

x_n= 3*log(x)**2+6*log(x)-5

end subroutine f

! первая производная функции

subroutine f1(x_n,x)

real x_n,x

x_n= 6d0/x*(log(x)+1)

end subroutine f1

! вторая производная функции

subroutine f2(x_n,x)

real x_n,x

x_n= -6*log(x)/x/x

end subroutine f2

Проверка:

Литература

1. Бартеньев О.В. Современный Фортран / О. В. Бартеньев. – 2-е изд. – М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1998. – 397 с.

2. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. – 2-е изд. – М.: Лаб. Баз. Знаний, 2002. – 630 с.

3. Каханер Д. Численные методы и программное обеспечение / Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш. – М.: Мир, 1998. – 575 с.

4. Самохин А.Б. Фортран и вычислительные методы: Для пользователя IBM PC / А.Б.Самохин, А.С.Самохина. – М.: Русина, 1994. – 120 с.

5. Светозарова Г.И. Современные методы программирования в примерах и задачах / Г.И. Светозарова, А.В. Козловский, Е.В. Сигитов. – М.: Наука, 1995. – 432 с.