Читайте также:
|
|
ОБЩЕЕ ЧАСТНОЕ БАЗИСНОЕ РЕШЕНИЯ
Общим решением разрешенной системы уравнений называется совокупность выражений разрешенных неизвестных через свободные члены и свободные неизвестные:
Частным решением системы уравнений называется решение, получающиеся из общего при конкретных значениях свободных переменных и неизвестных.
Базисным решением называется частное решение, получающееся из общего при нулевых значениях свободных переменных.
• Базисное решение (вектор) называется вырожденным, если число его координат, отличных от нуля, меньше числа разрешенных неизвестных.
• Базисное решение называется невырожденным, если число его координат, отличных от нуля, равно числу разрешенных неизвестных системы, входящих в полный набор.
Теорема (1)
Разрешенная система уравнений всегда совместна (потому что она имеет хотя бы одно решение); причем если система не имеет свободных неизвестных, (то есть в системе уравнений все разрешенные входят в базис) то она определена (имеет единственное решение); если же имеется хотя бы одна свободная переменная, то система не определена (имеет бесконечное множество решений).
Решение:
1.Проверяем является ли система разрешенной?
• Система является разрешенной (т.к. каждое из уравнений содержит в себе разрешенную неизвестную)
2. Включаем в набор разрешенные неизвестные - по одному из каждого уравнения.
• В нашем случае мы можем включить в набор разрешенных неизвестных из первого уравнения - x1 и x5, а из второго уравнения только x2. То есть набор может состоять из (x1 x2) или (x5 x2).
3. Записываем общее решение в зависимости от того какие разрешенные неизвестные мы включили в набор.
• допустим мы включили в набор неизвестные x1 и x2, тогда общее решение будет выглядеть так:
4.Находим частное решение. Для этого приравниваем свободные переменные, которые мы не включили в набор приравнять к произвольным числам.
5. Находим базисное решение. Для этого приравниваем свободные переменные, которые мы не включили в набор к нулю.
ü Это метод последовательного исключения неизвестных из системы.
Составим расширенную матрицу системы,будем проводить элементраные преобразования над строками чтобы привести матрицу к виду трапециию.
Столбцы,за исключением последнего,можно переставлять местами,фиксируя при этом над матрицей где какая переменная.
В круг.скоб. - * на 3 - круг скобки.
2ую и 3ю строку и сложить с 1ой.
Возможнны три случая:
1)r(A)≠r(A!B) – система не совместна
2)r(A)=r(A!B) – система совместна
а) r=n(число переменных),то система определена
Восстанавливаем систему по полученой матрице начиная с последнего уравнения и поднимаясь к первому последовательно находим неизвестные
б) r ,то система не определена.Восстановим систему по полученой матрице выбираем r переменную таким образом,чтобы определитель составленный из коэфицентов при этих переменных был отличен от нуля.назовем эти переменные базисными,остальные переменные свободные.Выбор базисных переменных не однозначен начиная с последнего уравнения последовательно выразим базисные переменные через свободные.Получим общее решение системы.
… r(a)=r(A!B)=2
r=2 – система не определена
Х1,х2-базисные х3,х4 – свободные
- общее решение системы
Подставляя вместо свободных эл-ов любые числа и вычисляя базисные переменные,получим частные решения системы.
Пусть х3=0, х4=0
Дата добавления: 2014-12-18; просмотров: 91 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |