Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Алгебраические формы представления целых знаковых двоичных чисел в компьютере и операции с этими числами

Десятичные числа

Х1=-123,45·10⁺⁵

Нормализация 1

Х1=-,12345·10⁺⁸

Нормализация 2

-1,2345·10⁺⁷

Пример задания 3.5 лабы 2

Исходные данные:

Номер в журнале N = 31=11111₂.

Х= N /70=0,4429 (4 цифры после запятой)

Х=0,4429=,011100010110₂ (смотри л4).

Записываем N в форме с фиксированной запятой (8 бит со знаком)

N_ф=0|0011111,₂ (первый бит знак: 0 - +, 1 - минус)

Записываем N в форме с плавающей запятой (мантисса и порядок по 8 бит со знаком)

М P

N_пл = 0|0011111,₂ 0|0000000₂ (первый бит знак порядка: 0 - +, 1 - минус)

Нормализуем по 1 виду.Запятую мантиссы двигаем на 5 разрядов влево, следовательно P=+5

+ 5

N_пл.н = 0|,1111100₂ 0|0000101₂.

Проверяем М=0|,1111100₂ =+(64+32+16+8+4)/2⁷=124/128=31/32.

N_пл = М·2^P = 31·2⁵/32=31 (верно!).

Записываем Х в форме с плавающей запятой (мантисса и порядок по 8 бит со знаком)

Х_ф =0,0111001₂ (проведено округление, в последнем бите добавлена 1)

Записываем N в форме с плавающей запятой (мантисса и порядок по 8 бит со знаком)

М P

N_пл = 0|,011100010110₂ 0|0000000₂

Нормализуем по 1 виду.Запятую мантиссы двигаем на 1 разряд вправо, следовательно P=-1. Оставляем 7 цифр после запятой

М P=-1

N_{пл. н} = 0|,1110001₂ 1|0000001₂

Проверяем

М=0|,1110001₂ =+(64+32+16+1)/2⁷=113/128.

X_пл = М·2^P = 113·2^-1/128=0,4414 (верно!).

Алгебраические формы представления целых знаковых двоичных чисел в компьютере и операции с этими числами

Привычной для человека формой представления является Прямой код (ПК), состоящий из бита знака (0 - плюс, 1 – минус) в крайней левой позиции поля записи числа, и модуля числа в двоичной СЧ - в остальных разрядах. При длине поля n положительные числа в ПК представлены от +0 до +(2^n-1 – 1), а отрицательные – от –(2^n-1-1) до -0.

Все положительные числа в компьютере представляются в ПК.

Для представления отрицательных чисел кроме ПК существует еще 3 формы: обратный код (ОК), дополнительный код (ДК) и смещенный код (СК).

В ОК в знаковом разряде 1, а на месте битов модуля их обратное (или инверсное) значение: вместо 0 – 1, и на оборот вместо 1 – 0.

В ДК в знаковом разряде 1, а на месте битов код дополняющий модуль ПК до 2^n-1.

В СК в поле записи числа записывается двоичный код, равный сумме десятичного знакового числа и смещения К, при котором СК всегда положительный. Обычно K=2ⁿ. В результате отрицательные числа от -2ⁿ до -1 представлены в СК кодами целых беззнаковых чисел от 0 до (2^n-1-1); 0 –

2^n-1; а положительные – от (2^n-1+1) до (2ⁿ-1). СК часто используют для записи порядков чисел с плавающей запятой.

Два правила образования ДК

1. Компьютерное правило. Отрицательное число представляется в ПК и переводиться в ОК. Затем знак 1 сохраняется, а к части модуля ОК добавляется 1.

2. Быстрое правило для человека. Отрицательное число представляется в ПК. Знак 1 сохраняется. Сохраняется самая крайняя 1 модуля и биты после нее. Оставшиеся биты модуля инвертируются (меняются на обратные).

1-е правило для нас будет основным. 2-м будем пользоваться для проверки.

Правило перевода ОК в ПК

Бит знака сохраняется, а оставшиеся биты инвертируются.

Правило перевода ДК в ПК

К ДК применяется правило образования ДК. Получается ПК.

Правило перевода СК в ПК

Из десятичного эквивалента СК вычитается смещение К. Полученное знаковое число представляется в ПК.

Примеры кодов в 5-разрядном поле со знаком

ПК(+13) = 01101

ПК(–13) = 11101

ОК(–13) = 10010

ДК(–13) = 10011

ПК(+7) = 00111

ПК(–7) = 10111

ОК(–7) = 11000

ДК(–7) = 11001

К=16

СК(+13) = 13+16=29 = 11101

СК(–13) = -13+16= 3 = 00011

СК(+7) = 7+16= 23 = 10111

СК(–7) = -7+16= 9 = 01001

Действия сложения чисел с представлением

отрицательных чисел в ПК, ОК и ДК

1. Сложение в ПК.

Если знаки одинаковы, то знак сохраняется, а модули складываются.

Если знаки разные, то выбирается наибольший модуль и из него вычитается наименьший модуль. Знак присваивается как у большего модуля.

Примеры для ПК

1) +13 + (–7) = +6

-0111

-1

-1

0110 ПК = 00110 (+6)!

2) (-13) + (7) = -6

-0111

-1

-1

0110 ПК =10110 (-6)!

Недостатки арифметических действий (сложения) с ПК – сложное правило. Кроме того два значения нуля ±0.

2. Сложение в ОК

Коды складываются как беззнаковые. Если в старшем знаковом разряде образуется перенос, то к младшему разряду добавляется 1. Если в знаковом разряде результата 0, то результат положительный в ПК. Если в знаковом разряде 1, то результат отрицательный в ОК. В последнем случае для проверки его надо перевести в ПК.

Примеры в ОК

1) +13 + (–7) = +6

01101 ПК(+13)

+11000 ОК(–7)

1 00101

+1

00110 ПК(+6)!

2) -13 + 7 = -6

10010 ОК(–13)

+ 00111 ПК(+7)

11001 ОК

ПК =10110=-6!

3. Сложение в ДК

Коды складываются как беззнаковые. Если в старшем знаковом разряде образуется перенос, то он пропадает. Если в знаковом разряде результата 0, то результат положительный в ПК. Если в знаковом разряде 1, то результат отрицательный в ДК. В последнем случае для проверки его надо перевести в ПК.

Из правило видно, что сложение в ДК самое простое, поэтому в компьютерах отрицательные числа представляются в основном в ДК.

Примеры в ДК

1) +13 + (–7) = +6

01101 ПК(+13)

+11001 ДК(–7)

00110 ПК(+6)

2) +7 – 13 = -6

00111 ПК(+7)

+ 10011 ДК(-13)

11010 ДК

ПК=10110 (-6)!