Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Ньютона-Лейбница

Вычисление определенного интеграла, как предела интегральных сумм, сложно даже для простейших функций. Необходим простой способ вычисления определенных интегралов, минуя отыскание интегральных сумм и переход к пределу. Этот метод, основанный на связи определенного интеграла с вычислением первообразной, выражается формулой Ньютона-Лейбница.

Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке и F(x) –

любая первообразная для f(x ) на . Тогда определенный инте-

грал от функции f(x) на равен приращению первообразной

F(x) на этом отрезке:

. (1)

Равенство (1) называется формулой Ньютона-Лейбница.

Если ввести обозначения , то формулу Ньютона-Лейбница (1) можно переписать в виде: .

Читается формула (1) так: чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции f(x) на отрезке , надо найти ее первообразную функцию и взять разность значений этой первообразной на концах отрезка : .

Замечание 1. Мы ввели понятие для случая . Его можно обобщить и на случай . Сделаем это так, чтобы формула Ньютона-Лейбница оставалась справедливой.

Положим, по определению, что для . (2)

Проверим справедливость формулы Ньютона-Лейбница:

.

Принимая во внимание (2), для нас отныне будет несущественно, какой из пределов интегрирования больше: верхний или нижний.

Эта формула имеет место и для : .

Замечание 2. Величина интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования, т.е. , а зависит лишь от вида подынтегральной функции и отрезка нтегрирования, поскольку смена обозначений такого рода никак не влияет на поведение интегральной суммы.

Формула Ньютона-Лейбница дает практически удобный метод вычис­ления определенных интегралов в том случае, когда известна первообразная подынтегральной функции.

Только с открытием этой формулы определенный интеграл смог полу­чить то значение в математике, какое он имеет в настоящее время. Эта фор­мула значительно расширила область применения определенного интеграла, так как математика получила общий метод для решения различных задач ча­стного вида и поэтому смогла значительно расширить круг приложений оп­ределенного интеграла.

Пример 1. Вычислить определенные интегралы: а) ; б) ;

в) .

Решение. а) .

б) .

в) .

2.

2.1. Определенный интеграл вида , где x – независимая переменная, называется определенным интегралом с переменным верхним пределом, понятно, что результатом интегрирования будет функция от x.

Теорема. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, т.е.

(3)

2.2. Оценка интеграла.