Читайте также:
|
Лекция 9. Тема: Векторное пространство. Арифметическое векторное пространство
Предметная область лекции (раздела учебной дисциплины): Определение векторного пространства. Простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Арифметическое векторное пространство. Линейная оболочка системы векторов. Система из единичных векторов. Свойства линейной зависимости и независимости системы векторов. Элементарные преобразования над системами векторов. Базис конечной системы векторов. Теоремы о существовании и количестве векторов в базисе.
Цели и технологии их достижения предлагается поставить субъекту учения самостоятельно.
На первой лекции мы ввели понятие алгебры. Изучили алгебру матриц. Для построения алгебры мы предварительно рассматривали поле R – вещественных чисел, хотя можно было рассматривать любое поле.
На этой лекции мы будем строить еще одну алгебру, которую назовем векторным пространством. Для ее построения возьмем поле R (поле вещественных чисел). Будем стоить новую алгебру, элементы которой будем называть векторами, и обозначать а, в, или х, у.
Определение 9.1 (векторного пространства). Векторным пространством над полем R называется алгебра <V, +, λ >, где V – непустое множество элементов любой природы (векторов); операция “+” – сложение векторов из V и операция “λ” – умножение вектора из V на число из поля R, удовлетворяют следующим условиям (аксиомам):
1) сложение векторов коммутативно, т.е. для любых а и в из V: а + в = в + а;
2) сложение векторов ассоциативно, т.е. для любых а, в, с:
а +(в + с) = (а + в) + с;
3) существует в V нулевой вектор, т.е. вектор 0 такой, что для любого а:
а + 0 = 0 + а = а;
4) для каждого вектора а из V существует противоположный вектор, т.е. вектор (– а) такой, что а + (– а) = 0;
5) (λμ) а = λ(μ а) = μ (λ а);
6) (λ + μ) а = λ а + μ а;
7) λ(а + в) = λ а + λ в;
8) 1· а = а.
Легко показать, что алгебра квадратных матриц над полем R образует векторное пространство, т.е. является одним из примеров векторного пространства.
Задание для СУ 9.2. 1. Выучите определение векторного пространства (1 уу). 2. Создайте алгоритм проверки, является ли заданное множество векторным пространством (2 уу). 3. Проверьте, что алгебра квадратных матриц образует векторное пространство (2 уу).
Теорема 9.3 (простейшие свойства векторных пространств). Если V – векторное пространство над полем R, то имеют место следующие свойства:
1. Если а + в = а, то в = 0.
2. 0 а = 0.
3. α 0 = 0.
4. Если а + в = 0, то в = – а. Заметим, что (– а) = (– 1 )а.
5. Если α а = α в, α ≠ 0, то а = в.
6. Если α а = 0, то α = 0 или а = 0.
7. Если α а = β а, а ≠ 0, то α = β.
Доказательство.
(1) Пусть а + в = а, тогда можно к обеим частям равенства прибавить вектор (– а) (такой вектор существует по аксиоме 4): (– а) + а + в = (– а) + а = 0. Учитывая, что (– а) + а = 0, получаем, что в = 0, что и требовалось доказать.
(2) Рассмотрим 0 а и сделаем преобразование: (0 + 0) а, воспользуемся аксиомой 6, получим: 0 а = 0 а + 0 а. По определению нулевого вектора, получаем: 0 а = 0.
(3) Рассмотрим α 0 и как в случае 2 сделаем преобразование и воспользуемся аксиомой 7, получим α 0 = α (0 + 0) = α 0 + α 0. По определению нулевого вектора, получаем: α 0 = 0.
(4) Пусть а + в = 0. Прибавим к обеим частям равенства вектор (– а), получим: (– а) + а + в = (– а) + 0 = – а. Так как (– а) + а = 0, то получаем в = – а.
(5) Пусть α а = α в и α ≠ 0. Так как α ≠ 0, то существует α –1. Умножим обе части равенства на α –1 ≠ 0, получим α –1α а = α –1 α в, откуда получаем а = в.
(6) Покажем, что если α а = 0, то либо α = 0, либо вектор а = 0. Если
α ≠ 0, то α –1α а = α –1 0, откуда получаем: а = 0. Если α = 0, то по свойству 2 свойство 6 верно.
(7) Если α а = β а, а ≠ 0, то прибавим к обеим частям вектор (– β а):
α а + (– β а) = (– β а) + β а = (– β + β) а = 0. Тогда (α – β) а = 0. Так как а ≠ 0, то по свойству 6 (α – β) = 0. Откуда получаем, что α = β.
Математический интерес представляет отношение, в которое вступают векторы из V. Таким отношением является “быть линейно зависимыми или линейно независимыми”. Рассматривая матрицы, мы уже говорили о линейной комбинации строк матрицы и ввели понятие линейной зависимости и независимости строк (столбцов) матрицы. Рассмотрим эти понятия для системы векторов. Пусть дано векторное пространство V над полем R и система векторов (1) а1, а2,…, аn.
Определение 9.4 (линейной комбинации векторов системы). Назовем выражение (2) к1 а1 + к2 а2 +…+кn аn линейной комбинацией векторов системы (1), где числа к1, к2,…, кn называют коэффициентами линейной комбинации.
Определение 9.5 (линейной зависимости и линейной независимости векторов системы). Система векторов (1) называется линейно независимой, если ее линейная комбинация (2) обращается в нулевой вектор только при условии равенства нулю всех коэффициентов; называется линейно зависимой, когда линейная комбинация (2) обращается в нулевой вектор при условии хотя бы одного ненулевого коэффициента.
Рассмотрим особое векторное пространство и дополним свойствами понятие линейной зависимости и независимости системы векторов для векторов этого пространства, не нарушая общности.
Введем предварительно определение прямого произведения множества.
Определение 9.6 (прямого произведения множества на себя).
Прямым произведением множества А на себя называется произведение АхАх…хА = {(а1, а2, …, аn), где аi – элементы из А}.
Рассмотрим прямое произведение RхRх…хR, где R – поле действительных чисел. Элементы этого произведения назовем n – мерными арифметическими вектором.
Определение 9.7 (n – мерного арифметического вектора). n – мерным арифметическим вектором над полем R называется упорядоченная совокупность (а1, а2, …, аn), где аi – числа из R. Будем обозначать такие векторы буквами а, в или х, у и т.д.
Рассмотрим множество таких векторов и обозначим это множество через Rn. Убедимся в том, что Rn образует векторное пространство. Для этого введем операции:
“+”: (а1, а2,…,аn) + (в1, в2,…. вn) = (а1 + в1, а2 + в2, …., аn + вn);
“λ”: λ (а1, а2,…,аn) = (λа1, λа2,…, λаn).
Теорема 9.8. Множество арифметических n – мерных векторов Rn образует векторное пространство.
Доказательство. Доказательство теоремы проводится непосредственной проверкой выполнимости всех аксиом определения векторного пространства.
Задание для СУ 9.9. 1. Проверить истинность теоремы 9.8 (2 уу).
Определение 9.10. Векторное пространство Rn, состоящее из арифметических n – мерных векторов называется арифметическим n – мерным векторным пространством.
Определение 9.11 (линейной оболочки системы векторов). Множество всех линейных комбинаций векторов системы а1, а2,…, аk называется линейной оболочкой этой системы и обозначается
L = L(а1, а2,…, аk) = {λ1 а1 + λ2 а2 +…+ λk аk }.
Легко проверить, что линейная оболочка заданной системы векторов тоже образует векторное пространство.
Задание для СУ 9.12. 1. Запомните все выше изложенные определения (1 уу). 2. Проверьте, что линейная оболочка образует векторное пространство (2 уу).
Определение 9.13 (единичных векторов). Система векторов
(1) е1 = (1, 0, …, 0), е2 = (0, 1, …, 0), …, еn = (0, 0,…, 1) из Rn называется системой единичных векторов.
Предложение 9.14 (о линейной независимости системы единичных векторов). Система единичных векторов (1) линейно независимая.
Доказательство. Воспользуемся определением линейной независимости векторов. Составим линейную комбинацию векторов системы (1) и приравнять ее к нулевому вектору: к1 е1 + к2 е2 +…+ кn еn = 0. Затем, произведя операции, приравняем одинаковые компоненты у получившегося вектора и нулевого: к1 (1, 0,…, 0) + к2 (0, 1,…, 0) +…+ кn (0, 0,…. 1) = 0. Из того, что к11 + … + кn0 = 0, получаем к1 = 0. Аналогично можно показать, что остальные коэффициенты тоже равны нулю. Таким образом, линейная комбинация векторов единичных обращается в нулевой вектор при условии равенства нулю всех коэффициентов, что и доказывает линейную независимость векторов системы, состоящей из единичных векторов.
Замечание. Доказательство предложения 9.14. осуществлялось по алгоритму, который может использоваться всякий раз, когда необходимо проверить линейную зависимость и независимость векторов. Он состоит в следующем. Если надо проверить линейную зависимость и независимость некоторой конечной системы векторов, то поступают так:
1. Составляют линейную комбинацию векторов, взяв произвольный набор коэффициентов.
2. Приравнивают полученную линейную комбинацию к нулевому вектору.
3. Находят коэффициенты.
4. По значениям коэффициентов делают вывод:
4.1. Если все коэффициенты равны нулю, то система векторов линейно независимая.
4.2. Если хотя бы один коэффициент отличен от нуля, система векторов линейно зависимая.
Перейдем к рассмотрению свойств линейной зависимости и независимости системы векторов.
Теорема 9.15 ( свойство 1 ). Система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.
Доказательство. Пусть дана система (1) 0, а2,…, аn, которая содержит нулевой вектор. Составим линейную комбинацию этих векторов вида
к1 0 + 0 а2 +…+0 аn. Такая линейная комбинация равна нулевому вектору. Однако в ней коэффициент к1 ≠ 0, что свидетельствует о линейной зависимости этой векторов системы.
Теорема 9.16 (свойство 2). Если подсистема системы векторов (1) линейно зависимая, то и вся система (1) линейно зависимая.
Доказательство. Пусть дана система векторов (1) а1, а2,…, аn. Пусть ее подсистема (2) а1, а2,…, аm (m < n) линейно зависимая.
Составим линейную комбинацию системы (2) и приравняем ее к нулевому вектору: к1 а1 + к2 а2 +…+кm аm = 0 (3). Так как система (2) линейно зависимая, равенство (3) возможно, если какой-нибудь коэффициент отличен от нуля. Допишем к левой части равенства (3) остальные векторы с нулевыми коэффициентами, от чего равенство не изменится. Тогда получим линейную комбинацию системы векторов (1), в которой есть ненулевой коэффициент. Это подтверждает, что система векторов (1) линейно зависимая.
Теорема 9.17 ( свойство 3 ). Любая подсистема линейно независимой системы линейно независимая.
Доказательство. Это свойство доказывается от противного. Если предположить, что подсистема линейно зависимая, то по свойству (2), система зависимая, а это противоречит условию.
Теорема 9.18 (свойство 4). Если система векторов (1) а1, а2,…, аn, у которой и а1 ≠ 0, линейно зависимая, то среди данных векторов найдется вектор, который линейно выразится через предшествующие векторы.
Доказательство. Пусть условие теоремы выполнено, т.е. система (1) линейно зависимая с первым отличным от нуля вектором. Тогда существует линейная комбинация к1 а1 + к2 а2 +…+кm аm = 0, где один из коэффициентов отличен от нуля. Будем исследовать коэффициенты, начиная с кm. Если он отличен от нуля, то вектор аm легко выразить через остальные:
аm = – к1/ кm а1 – … – кm–1/ кm аm–1. Если этот коэффициент равен нулю, то будем исследовать коэффициент кm–1. Пусть отличным от нуля окажется коэффициент кs . Тогда линейную комбинацию можно записать так:
к1 а1 + к2 а2 +…+ кs аs = 0, откуда получим аs = (– к1 /кs ) а1 + …+(– кs-1 /кs) аs–1 . Проверим, что s ≠ 1. Если окажется, что при исследовании к1 а1 = 0, то вектор а1 нулевой, что противоречит условию теоремы. Таким образом, теорема верна.
Теорема 9.19 (свойство 5). Система векторов(1) u1, u2,…, un и u1 ≠ 0 линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов системы линейно выражается через остальные.
Доказательство. Теорема состоит из двух теорем – прямой и обратной.
(=>) (прямая теорема): Если система векторов(1) u1, u2,…, un и u1 ≠ 0 линейно зависима, то хотя бы один из векторов системы линейно выражается через остальные.
Действительно. Если система (1) линейно зависимая, то по теореме 9.18 найдется вектор, который линейно выражается через предыдущие векторы.
(<=) (обратная теорема): Если хотя бы один из векторов системы (1) линейно выражается через остальные векторы, то эта системалинейно зависима.
Действительно. Если найдется вектор u к в (1), который линейно выражается через некоторые векторы системы, то его можно представить в виде
uк = к1 u1 +…+ кк-1 uк. Добавим к правой части остальные векторы с нулевыми коэффициентами, от чего равенство не изменится. Затем перенесем вектор uк в правую часть с коэффициентом (– 1). Получим линейную комбинацию векторов данной системы, равную нулевому вектору, причем в ней есть коэффициенты отличные от нуля, что доказывает линейную зависимость системы (1).
Теорема 9.20 (свойство 6). Если система векторов (1) u1, u2,…, un линейно независимая, а система векторов (2) u1, u2,…, un, v линейно зависимая, то вектор v линейно выражается через данную систему (1).
Доказательство. По условию система (2) линейно зависимая, следовательно, можно составить линейную комбинацию с хотя бы одним ненулевым коэффициентом: к1 u1 + к2 u2 +…+ кn un + кn+1 v = 0. Если коэффициент кn+1 = 0, то, окажется что линейная комбинация система векторов (1) обращается в нулевой вектор с коэффициентом отличным от нуля, что указывает на линейную зависимость системы. А это противоречит условию. Следовательно, коэффициент кn+1 отличен от нуля. Что и позволяет вектор v выразить через данные векторы системы (1):
v = (– к1 /кn+1 ) u1 + (– к2/кn+1) u2 +…+ (– кn /кn+1) un .
Следствие 9.21 (свойство 7). Если вектор u принадлежит линейной оболочке L(v1, v2,…, vn) (1), а все векторы линейной оболочки (1) принадлежат линейной оболочке L (w1, w2,…, ws) (2), то вектор u принадлежит линейной оболочке (2).
Свойство легко доказывается непосредственной проверкой.
Следствие 9.22 (свойство 8). Если (1) u1, u2,…, un, un+1 
L(v1, v2,…, vn), то система (1) линейно зависимая.
Доказательство. Если среди данных векторов системы (1) есть нулевые векторы, то теорема очевидна. Пусть в системе векторов (1) нет нулевых векторов. Продолжим доказательство методом математической индукции.
Пусть все векторы системы (1) отличны от нулевого вектора.
Пусть n = 1, тогда u1, u2 L(v1) => u1 = в v1 , u2 = с v1, где в и с – числа, отличны от нуля, иначе векторы будут нулевыми. Тогда v1 = в–1 u1 и v1 = с–1 u2 => (в–1 ) u1 + (– с–1) u2 = 0, что и подтверждает линейную зависимость системы из двух векторов.
Предположим, что теорема верна для n векторов. Докажем, что теорема верна для n + 1 вектора. Пусть u1, u2,…, un, un+1 L(v1, v2,…, vn). Тогда
u1 = λ11 v1 + λ12 v2 +… + λ1n vn,
….................
un = λn1 v1 + λn2 v2 +… + λnn vn,
un+1 = λn+1,1 v1 + λn+1,2 v2 +… + λn+1,n vn.
Если все коэффициенты при vn равны нулю, то по предположению индукции система векторов, состоящая из n векторов, принадлежит линейной оболочке из n – 1 вектора. Это по предположению индукции означает, что она линейно зависимая. Пусть хотя бы один коэффициент, например λn+1,n ненулевой, тогда исключив вектор vn из равенств, получим, что n векторов выражаются через
n – 1, что по предположению индукции означает линейную их зависимость, а, следовательно, линейную зависимость данной системы векторов. Что и требовалось доказать.
Следствие 9.23 (свойство 9). Если u1, u2,…, uk – 1, uк L(v1, v2,…, vm), и
к > m, то система векторов u1, u2,…, uk-1, uк линейно зависимая.
Истинность следствия непосредственно следует из теоремы 9.22.
Следствие 9.24 (свойство 10). Если u1, u2,…, uk-–-1, uк L(v1, v2,…, vm) линейно независимая, то к ≤ m.
Истинность следствия непосредственно следует из теоремы 9.22.
Следствие 9.25 (свойство 11). В n – мерном арифметическом векторном пространстве Rn линейно зависима любая система векторов, состоящая из
n + 1 вектора.
Доказательство. Если взять любой вектор из Rn , например вектор
(а1, а2,…, аn), то его можно представить как линейную комбинацию единичных векторов: (а1, а2,…, аn) = а1(1, 0, …, 0) + а2(0, 1, …, 0) +…+ аn(0, 0,…. 1). Следовательно, можно утверждать, что любая система n – мерных векторов u1, u2,…, un, un + 1 L(e1, e2,…, en). Тогда по теореме 9.22 и следствию 9.23 система данных векторов линейно зависимая, что и доказывает теорему.
Определение 9.26. Две системы векторов называются эквивалентными, если их линейные оболочки совпадают. Обозначение эквивалентности систем векторов: S1 ~ S2 . Если системы векторов эквивалентны, то каждый вектор одной системы линейно выражается через векторы второй и обратно.
Над векторами можно производить такие же элементарные преобразования, как мы производили над строками матрицы:
(α): умножение вектора на число, отличное от нуля;
(β): прибавление к одному вектору системы другого, умноженного на число;
(γ): исключение из системы или введение нулевого вектора.
Теорема 9.25. Если одна система векторов получена из другой системы векторов в результате конечной цепочки элементарных преобразований, то эти системы эквивалентны.
Доказательство. Для доказательства утверждения воспользуемся матрицами. Каждый вектор системы можно рассматривать как строку матрицы, а всю систему как матрицу, т.е. А = (А1, А2,…, Аm), где Аi – вектор. Матрица, как известно, обладает рангом, указывающим на число линейно независимых ее строк (столбцов). Пусть r (А) = r. Это говорит о том, что число линейно независимых векторов в системе ровно r. Также известно, что элементарные преобразования над строками матрицы не изменяют ее ранга. Следовательно, элементарные преобразования над векторами, тоже не изменят их линейной зависимости и независимости. Проведенные рассуждения позволяют легко получить, что любой вектор Аi L(А1, А2,…, Аm) принадлежит линейной оболочке преобразованных векторов: Аi L(В1, В2,…, Вm) и наоборот. Поэтому линейные оболочки совпадут, что и означает эквивалентность систем данной и полученной конечной цепочкой элементарных преобразований.
Определение 9.26 (базиса системы векторов). Базисом конечной системы векторов называется непустая, линейно независимая ее подсистема, через которую все векторы системы линейно выражаются (или которая эквивалентна данной системе).
Теорема 9.27 (о существовании базиса системы векторов). Конечная система векторов, содержащая хотя бы один ненулевой вектор, обладает базисом. Любые два базиса конечной системы векторов состоят из одинакового числа векторов.
Теорема состоит из двух теорем – теоремы существования и теоремы о количестве векторов в базисе.
Доказательство (теоремы существования). Если система векторов содержит нулевые векторы, то их можно исключить и по теореме 9.26, получится эквивалентная система. Таким образом, есть смысл рассматривать систему без нулевых векторов. Рассмотрим конечную систему векторов, среди которых нет нулевых. Пусть это будет система u1, u2,…, uк (1). Если система (1) линейно независимая, то она непустая, линейно независимая, и каждый ее вектор через нее выражается, поэтому она является базисом данной системы.
Если система (1) линейно зависимая, то по известному свойству найдется вектор, который линейно выражается через предшествующие векторы. Удалим этот вектор из системы, получим систему, эквивалентную данной. После такого преобразования исследуем оставшуюся систему векторов. Если она окажется линейно независимой, то это базис. Если она окажется линейно зависимой, продолжим предыдущее преобразование с оставшейся системой. Так как в системе есть ненулевые векторы, то этот процесс не может быть бесконечным, поэтому базис системы будет найден, что и доказывает существование базис у системы векторов.
Доказательство (теоремы о количестве векторов в базисе). Предположим, что базисов оказалось два: а1, а2,…, ак и в1, в2,…, вs. Тогда, согласно определению базиса: а1, а2,…, ак L(в1, в2,…, вs) и в1, в2,…, вs L(а1, а2,…, ак). По следствию 9.24, имеем к ≤ s и s ≤ к => s = к, что и требовалось доказать.
Замечание. Система векторов может обладать несколькими базисами, но количество векторов в каждом из них одинаковое.
Теорема 9.28. Арифметическое векторное пространство Rn обладает базисом, состоящим из n векторов.
Доказательство. В Rn система из единичных вектор линейно независимая, состоит она из n векторов, через нее любой вектор линейно выражается. Т.е. система из единичных векторов удовлетворяет всем требованиям базиса, следовательно, она является одним из базисов этого пространства, что и доказывает его существование.
Определение 9.29 (ранга системы векторов). Количество векторов в базисе системы векторов называется рангом этой системы.
Если дана система векторов а1, а2, …, ак, и она линейно независимая, то
ранг r (L) = r (а1, а2, …, ак) = к. Таким образом, r (Rn ) = n. В данном случае ранг принят за размерность векторного пространства.
Таким образом, размерность векторного пространства определяется рангом, т.е. количеством векторов в базисе этого пространства, если таковой есть. Ясно, что если S1 ~ S2 , то r (S1) = r (S2).
Предложение 9.30. Ранг любой системы векторов из n – мерного векторного пространства не превосходит n.
Доказательство. Нами установлено, что любая система из n + 1 вектора линейно зависимая. С другой стороны, ранг Rn равен n. Откуда получаем, что
Вопросы для проверки усвоения учебного материала
1. Определение гомоморфизма векторных пространств. Классификация гомоморфизмов.
2. Теорема о базисе образов базисных векторов.
3. Теорема о существовании отображения, обратного для изоморфизма.
4. Теорема о необходимом и достаточном условии быть изоморфизмом векторных пространств.
Лекция 12. Тема: Евклидовы векторные пространства. Ортогональный и ортонормированный базис
Предметная область лекции (раздела учебной дисциплины): Определение скалярного произведения векторов. Невырожденное скалярное произведение. Ортогональная система векторов. Линейная независимость ортогональной системы векторов. Процесс ортогонализации. Ортогональное дополнение к подпространству. Определение евклидова пространства. Стандартное пространство. Нормирование вектора. Ортогональный базис евклидова пространства и его свойства. Изоморфизм евклидовых пространств.
Цели СО, СП, ПП предлагается спрогнозировать субъекту учения и разработать технологии их достижения.
Пусть дано векторное пространство V над полем R (поле скаляров или поле действительных чисел).
Определение 12.1 (скалярного умножения векторов). Скалярным умножением в пространстве V называется отображение VхV ––> R, ставящее в соответствие каждой паре векторов а, в из V число, обозначаемое ав и удовлетворяющее условиям:
(1) ав = ва для любых а, в из V;
(2) (α а + β в) с = α (ас) + β(вс) для любых а, в, с из V и любых α, β из Р.
Число ав называется скалярным произведением векторов а и в.
Определение 12.2. Скалярное умножение в пространстве V называется невырожденным, если аа ≠ 0, скалярное умножение в пространстве V называется нулевым, если аа = 0.
Предложение 12.3. Если V векторное пространство со скалярным умножением, то а 0 = 0 для любого а из V.
Доказательство. В силу условия (2) а 0 = а ( 0 + 0) = а 0 + а 0 => а 0 + а 0 = а 0 + 0 => а 0 = 0.
Отметим, что в конечномерном ненулевом векторном пространстве можно ввести скалярное умножение различными способами.
Определение 12.4 (ортогональных векторов). Векторы а и в называются ортогональными или взаимно ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Запись а ┴ в означает, что ав = 0.
Определение 12.5 (ортогональной системы векторов). Система векторов
а1, а2,…, а m называется ортогональной, если взаимно ортогональны любые два вектора системы. Система, состоящая из одного нулевого вектора, считается ортогональной. Ортогональная система, являющаяся базисом векторного пространства, называется ортогональным базисом пространства.
Теорема 12.6. Пусть V – векторное пространство с невырожденным скалярным умножением. Ортогональная система ненулевых векторов пространства V линейно независима.
Доказательство. Пусть (1) а1, а2,…, а m – ортогональная система ненулевых векторов пространства V. Составим линейную комбинацию этих векторов (2) λ1 а1 + λ2 а2 +…+ λm аm = 0. Будем умножать равенство (2) последовательно на векторы системы а1, а2,…, а m. Например, на вектор а1: λ1 (а1 а1) +
+ λ2 (а1 а2 ) +…+ λm (а1аm) = (а1 0) = 0 =>:λ1 (а1 а1) = 0, так как (а1 а1) ≠ 0, то λ1 = 0. Аналогично получим, что: λ2 = 0, …, λm = 0, что подтверждает линейную независимость системы векторов (1).
Следствие 12.7. Если V – ненулевое n – мерное векторное пространство с невырожденным скалярным умножением, то любая ортогональная система n ненулевых векторов пространства является ортогональным базисом пространства V.
Теорема 12.8. Пусть V – конечномерное векторное пространство с невырожденным скалярным умножением. Ортогональную систему ненулевых векторов, не являющуюся базисом пространства, можно дополнить до ортогонального базиса пространства.
Доказательство. Пусть dimV = n > 1 и (1) в1, в2,…, вm – ортогональная система ненулевых векторов пространства V, не являющаяся базисом пространства, т.е. m < n.
Прежде всего, покажем, что любую систему линейно независимую можно дополнить до базиса пространства Vn. Поступают для доказательства так: приписывают к данной системе векторов какой-нибудь базис пространства. Так как векторов становится больше, чем размерность пространства, то какой-нибудь вектор линейно выражается через предшествующие, его исключают. Процесс этот конечен, поэтому базис можно построить.
Пусть дана система векторов (1). Рассмотрим (2) в1, в2,…, вm, сm+1, …, сn – базис пространства V. Положим (3) вm+1 = с m+1 – λ1 в1 – λ2 а2 –…– λm вm и найдем, при каких значениях скаляров λ1,…,λ2, λmвектор вm+1 ортогонален ко всем векторам исходной системы (1), т. е. удовлетворяет условиям (4).
вm+1 вi = 0 (i= 1, 2,…. m). В силу условия (3) и ортогональности системы (1) эти условия можно записать в виде с m+1 вi – λi (вi вш) = 0. Так как вi ≠ 0 и (в i вi) ≠ 0, эти условия можно записать в виде: λi = (сm+1 вi)/ (вi вi), где
(i= 1, 2,…. m).
При таком выборе коэффициентов в равенстве (3) вектор вm+1 удовлетворяет условиям (4), т. е. ортогонален к каждому вектору системы (1). Из (3) в силу линейной независимости системы в1, в2,…, вm, сm+1 следует, что вm+1 ≠ 0. Следовательно, в1, в2,…, вm, вm+1 есть ортогональная система ненулевых векторов. Если m + 1 < n, то аналогичным образом находится ненулевой вектор вm+2, ортогональный в построенным векторам. Продолжая этот процесс, мы построим ортогональный базис. Что и требовалось доказать.
Процесс получения ортогональной системы векторов называется процессом ортогонализации.
Следствие 12.9. Любое конечномерное ненулевое векторное пространство (n ≥ 2) с невырожденным скалярным умножением обладает ортогональным базисом.
Доказательство. Известно, что конечномерное пространство обладает базисом. Если взять любую линейно независимую систему этого пространства, то можно ее дополнить до базиса. Базис далее можно ортогонализировать, считая в1 исходной ортогональной системой и применяя к системе (1) процесс ортогонализации, получаем ортогональный базис пространства.
Пусть Vn векторное пространство со скалярным умножением. Пусть М подмножество этого пространства. Если вектор а ортогонален ко всем векторам множества М, то будем записывать а ┴ М. Обозначим через М┴ множество всех векторов ортогональных к М, т.е. М┴ = { а из Vn | а ┴ М}.
Легко проверить, что М┴ множество не пустое. Действительно, если взять любой вектор ненулевой из векторного пространства а, затем взять базис в М и его ортогонализировать, при этом строить ортогональный базис надо с учетом того, чтобы векторы этого базиса были ортогональны вектору а. Таким образом, в Мs построена будет система ортогональных векторов m1, m2, …, ms, которая является базисом М, с одной стороны. С другой стороны, эта система векторов ортогональна к вектору а, что и доказывает утверждение.
Легко проверить, что < М┴, +, λ > – алгебра. Действительно, если а ┴ М и в ┴ М, то (а + в) m = аm + вm = 0 + 0 = 0 ––> (а +в) ┴ М; (λ а)m = λ(аm)= 0
–> λа ┴ m ––> λ а ┴ М. Таким образом, множество векторов, ортогональных к М, образуют векторное подпространство пространства V.
Определение 12.10. Подпространство М┴ пространства V, состоящее из векторов ортогональных к множеству векторов М, называется ортогональным дополнением к М.
Если L подпространство пространства V, а L┴ = { а из Vn | а ┴ L}, то L┴ – ортогональное дополнение к L.
Теорема 12.11. Пусть Vn векторное пространство со скалярным невырожденным умножением и пусть L его подпространство. Тогда V является прямой суммой L и его ортогонального дополнения L┴.
Доказательство. Пусть L = { 0 }. Так как любой вектор а из векторного пространства V ортогонален нулевому вектору, то ортогональным дополнением для то L┴ = V, т.е. является само пространство. Так как сумма то L┴ и векторного пространства содержит только нулевой вектор, то эта сумма является прямой, что и требовалось доказать.
Пусть L ≠ { 0 }.
1. Покажем, что L ∩ L┴ = { 0 }. Пусть а принадлежит L ∩ L┴ , тогда аа = 0. Так как умножение скалярное невырожденное, то аа = 0 только для а = 0, что и доказывает утверждение. Мы получили L ∩ L┴ = { 0 }, что позволяет утверждать, что сумма L и L┴ – прямая.
2. Покажем, что V = L + L┴, где сумма прямая. По условию L конечномерное векторное пространство, содержащее ненулевые векторы, с невырожденным скалярным умножением. Тогда Lm имеет ортогональный базис. Пусть таким базисом является в1, в2,…, вm. Возьмем произвольный вектор а из векторного пространства и покажем, что его можно представить как сумма: (1) а = (λ1 в1 + λ2 в2 +…+ λm вm) + х, где х из L┴ , λ1 в1 + λ2 в2 +…+ λm вm из L. Умножим равенство (1) на в1 , получим (2) а в1 = λ1 в1 в1 +…+ λm в1 вm + в1х ––> а в1 = λ1 в1 в1 ––> λ1 = а в1 / в1 в1. Аналогично получим такие же выражения для всех λi = а вi/вi вi ––> х = а – ∑ λi вi (*). Если предположить, что вектор х из L┴ , то умножая равенство (*) на вi, получим х вi = а вi – ∑ λi вi вi = а вi – λi (вi вi) = а вi – (а вi (вi вi))/ вi вi = 0 ––> вектор х ортогонален вектору вi, т.е. вектор х ортогонален векторному подпространству L.
Итак, получили, что х = а – ∑ λi вi (*) и принадлежит ортогональному дополнению к L ––> а = ∑ λi вi + х, где сумма взята из из L, а х из ортогонального дополнения, что и доказывает утверждение.
Определение 12.12 (евклидова пространства). Векторное пространство над полем R (действительных чисел) с положительно определенным скалярным умножением (т. е. аа > 0 для любого а ≠ 0) называется евклидовым векторным пространством.
Пример 12.13. Пусть векторное пространство есть множество действительных функций, заданных на отрезке [0, 1]. Если задать скалярное произведение на этом пространстве как определенный интеграл от 0 до 1, то такое пространство является евклидовым.
Теорема 12.14. Арифметическое векторное пространство над полем R со стандартным скалярным умножением является евклидовым.
Замечание. Пусть вектор а = (а1, а2,…, аn), вектор в = (в1, в2,…, вn), то
скалярное произведение ав = а1в1 + а2в2 +…+ аnвn называется стандартным.
Доказательство. Так как аа = а21 + а22 +… + а2n, где аi – действительные числа, то аа > 0 для любого ненулевого вектора а пространства. Таким образом, в Rn определено положительное скалярное умножение векторов, поэтому оно евклидово.
Определение 12.15. Арифметическое векторное пространство Rn со стандартным скалярным умножением называется n-мерным стандартным евклидовым пространством и обозначается через En.
Определение 12.16. Нормой вектора евклидова пространства называется арифметический квадратный корень из скалярного квадрата вектора.
Норма вектора обозначается || а ||. || а || 2 = аа.
Определение 12.17. Вектор а называется нормированным, если его норма равна 1.
Теорема 12.18. Если а, в – векторы евклидова пространства и λ – действительное число, то:
(1) || а || ≥ 0, причем || а || = 0 тогда и только тогда, когда а = 0;
(2) || λ а || = | λ а ||;
(3) | ав | ≤ || а || || в || - неравенство Коши - Буняковского;
(4) || а + в || ≤ || а || + || в || - неравенство треугольника.
Задание для СУ 12.19. Докажите теорему 12.18 самостоятельно, используя определение скалярного умножения векторов.
Определение 12.20. Система векторов а1, а2,…, аm евклидова пространства называется ортонормированной, если она ортогональна и каждый вектор нормирован. Ортонормированная система векторов, являющаяся базисом пространства, называется ортонормированным базисом пространства.
Теорема 12.21. Конечномерное ненулевое евклидово векторное пространство обладает ортонормированным базисом.
Доказательство. Пусть Vn – евклидово пространство. Известно, что оно обладает ортогональным базисом. Пронормируем каждый вектор и получим ортонормированный базис. Нормирование осуществим так: е = || в ||-1 в. Легко показать, что нормирование не изменит линейной зависимости и ортогональности системы векторов.
Свойство 12.22. Любая ортонормированная система n векторов является ортонормированным базисом ненулевого n-мерного евклидова пространства.
Задание для СУ 12.23. Доказать 12.22.
Свойство 12. 24. Ортонормированную систему векторов ненулевого конечномерного евклидова пространства, не являющуюся базисом, можно дополнить до ортонормированного базиса.
Доказательство. Известно, что ортогональную систему векторов можно дополнить до базиса. Пронормировав ее, получим ортонормированный базис.
Теорема 12.25. Если е1, е2,…, е n – ортонормированный базис евклидова пространства и а = а1 е1 + а2 е2 +…+ аn еn, в = в1 е1 + в2 е2 +…+ вn еn, то
ав = а1 в1 + а1 в1 +…+ аn вn и || а || 2 = ∑аi 2 .
Пусть V1 и V2 два евклидовых пространства.
Определение 12.26. Отображение f: V1 ––>V2 называектся изоморфизмом, если оно является изоморфизмом векторных пространств и ав = f (а) f (в).
Т.е. отображение f называется изоморфизмом для двух евклидовых пространств если оно:
1) f (а + в) = f (а)f (в);
2) f (λ а) = λ f(а);
3) ав = f (а)f(в).
Дата добавления: 2014-12-19; просмотров: 45 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
| Модуль III. Векторные пространства | | | Системный анализ как методология решения проблем |