Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Продуктивность матрицы A.

Получена система уравнений межотраслевого баланса:

(5)

Запишем в матричном виде, обозначим

, ,

Тогда получим: X = AX + Y (5^*) – это матричная модель межотраслевого баланса или модель Леонтьева в матричной форме. X и Y называют векторами валового и конечного выпусков.

Рассмотрим вопрос о существовании осмысленного решения системы уравнений (5) и затем о методике ее решения.

Итак, имеем матрицу коэффициентов прямых затрат A = (a_ij), по экономическому смыслу эти коэффициенты должны быть неотрицательными, то есть a_ij ≥ 0 (или A ≥ 0),

То есть A – неотрицательная матрица. И пусть задача заключается в том, чтобы по заданному вектору конечного выпуска найти вектор валового выпуска , то есть надо решить систему уравнений X = AX + Y.

Ясно, что y_i ≥ 0, ( ≥ 0) и искомое решение также по экономическому смыслу должно быть неотрицательным, то есть

x_i ≥ 0, ( ≥ 0).

Необходимо выяснить при каких условиях существует X ≥ 0. Какими свойствами должна обладать матрица A, чтобы существовал такой вектор валового выпуска. Если баланс в денежном выражении (например, в рублях) на 1 рубль выпуска продукции i -го вида, то a_ij < 1. Однако, такого требования недостаточно. Убедимся в этом на примере.

Пусть .

Система балансовых уравнений имеет вид:

Решив ее, получим: x ₁ = 240; x ₂ = –20, то есть система имеет отрицательное решение.

Какими же свойствами должна обладать матрица A, чтобы система (5) имела неотрицательное решение?

Это свойство – продуктивность матрицы A.

Неотрицательную матрицу A называют продуктивной, если существует вектор ≥ 0, такой что A < , отсюда следует, что существует вектор ≥ 0, что .

Продуктивность матрицы означает, что система может обеспечить некоторый конечный выпуск по всем продуктам. В этом случае можно показать, что если система может обеспечить некоторый строго положительный выпуск конечной продукции, то она может обеспечить выпуск конечной продукции в любых объемах.

Критерии продуктивности A:

1) Для того, чтобы матрица A была продуктивной необходимо и достаточно, чтобы для матрицы (E – A) существовала обратная неотрицательная матрица (E – A)^–1 ≥ 0, где

2) Если матрица A – продуктивна, то для любого ≥ 0 система уравнений имеет единственное решение ≥ 0.

Таким образом, продуктивность матрицы A обеспечивает единственное неотрицательное решение системы уравнений (5) для заданного Y ≥ 0.