Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Методы компьютерного моделирования

Вначале приведём техт программы, с которой предстоит работать:

program tr198; label 4,6,7,9,11,12,13,14,16,18,20;

const M=4;N=5; p=-1; type z=array [1..M,1..N] of real;

const a:array [1..M] of real=(25,32,40,20);

b:array [1..N] of real=(17,21,41,14,24); s:z=((10,8,9,6,5),

(5,6,4,3,8),

(9,7,5,4,3),

(14,10,8,8,8));

var x,c:z; h:array [1..M+N,1..2] of integer;

i,j,k,r,g,q:integer; v,u,w:real;

begin for i:=1 to M do for j:=1 to N do c[i,j]:=s[i,j];

for j:=1 to N do begin v:=c[1,j];

for i:=2 to M do if p*(v-c[i,j])<0 then v:=c[i,j];

for i:=1 to M do c[i,j]:=p*(v-c[i,j]) end;

for i:=1 to M do begin v:=c[i,1];

for j:=2 to N do if v>c[i,j] then v:=c[i,j];if v<>0 then

for j:=1 to N do c[i,j]:=c[i,j]-v end;

for i:=1 to M do for j:=1 to N do begin x[i,j]:=0;

if (b[j]<>0)and(c[i,j]<=0) then

if a[i]<b[j] then x[i,j]:=a[i] else x[i,j]:=b[j];

a[i]:=a[i]-x[i,j];b[j]:=b[j]-x[i,j] end; goto 20;

4: for j:=1 to N do begin if b[j]<=0 then b[j]:=-1;

for i:=1 to M do if (c[i,j]<=0)and(x[i,j]<>0) then c[i,j]:=-1 end;

6:for i:=1 to M do begin if a[i]<>(-1) then for j:=1 to N do begin

if (b[j]=-1)or(c[i,j]>0) then goto 7; c[i,j]:=-2; if a[i]>0 then

begin r:=i;g:=j;goto 11 end; a[i]:=-1; for k:=1 to N do

if c[i,k]=-1 then begin c[i,k]:=-3;b[k]:=0 end;goto 9; 7:end end;

9:v:=1e6;for i:=1 to M do for j:=1 to N do

if (a[i]<>-1)and(b[j]<>-1) then if c[i,j]<v then v:=c[i,j];

for j:=1 to N do for i:=1 to M do

begin if (b[j]>=0)and(a[i]>=0) then c[i,j]:=c[i,j]-v;

if (b[j]=-1)and(a[i]=-1) then c[i,j]:=c[i,j]+v end; goto 6;

11: q:=1;v:=a[r];h[q,1]:=r;h[q,2]:=g; 12: for i:=1 to M do begin

if c[i,g]<>-3 then goto 13; if x[i,g]<v then v:=x[i,g];

r:=i;q:=q+1;h[q,1]:=r;h[q,2]:=g; goto 14; 13: end; goto 16;

14: for j:=1 to N do if c[r,j]=-2 then begin

g:=j;q:=q+1;h[q,1]:=r;h[q,2]:=g;goto 12 end;

16:if b[g]<v then v:=b[g];for k:=1 to q do begin r:=h[k,1];g:=h[k,2];

if (k mod 2)<>0 then x[r,g]:=x[r,g]+v

else x[r,g]:=x[r,g]-v end;

r:=h[1,1];g:=h[q,2]; a[r]:=a[r]-v;b[g]:=b[g]-v;

for i:=1 to M do begin

if a[i]>=0 then goto 18; a[i]:=0; for j:=1 to N do begin

if c[i,j]<0 then c[i,j]:=0; if b[j]<0 then b[j]:=0 end; 18:end;

20:u:=b[1];for j:=2 to N do u:=u+b[j]; v:=a[1];

for i:=2 to M do v:=v+a[i]; if (v>0)and(u>0) then goto 4;

write(' i\j | ');for j:=1 to N do write(j:7,' '); writeln('');

write('______|_');for j:=1 to (N+5)*(N-1) do write('_');

writeln('');writeln(' |');w:=0;

for i:=1 to M do begin write(i:4,' |'); for j:=1 to N do begin

w:=w+x[i,j]*s[i,j];write(x[i,j]:8:0) end;writeln('');end;

writeln(' w=',w:2:0); readln end.

Рис. 4. Программа решения транспортной задачи

Суть программы и принятые в ней обозначения даны в [1,2]. Рассмотрим на примерах, как следует с ней работать в интегрированной среде Турбо-Паскаль.

В системе Windows XP «Турбо-Паскаль» (ТР) можно открыть из списка рабочих программ или с рабочего стола, при этом на экране появляется поле языка с главным меню в верхней строке и клавишной заменой основных действий в нижней строке. Нажатием на кнопку F3 открывается поле с имеющимся программами. На экране можно набирать техт новой программы или редактировать программу, выбранную из списка. Новую программу можно сохранить, выбрав в главном меню из «File» «сохранить как» и указав имя программы в стрoке “Open”. Запуск на счёт осуществляется нажатием кнопок Ctrl+F9.

Решение задачи выводится экран. Чтобы его сохранить следует нажать “Enter”, при этом исходная программа переместится на передний план. Эту программу надо закрыть нажатием на кнопки Alt+X, при этом восстановится полученное решение. В решении с помощью мышки следует выделить нужную часть, а для её записи в буфер нажать Enter. После этого откройте страницу Word и в нужное место вставьте из буфера сохранённое в нём решение.

В системе Windows 7 надо открыть папку «Борланд-Паскаль» (ВР), затем из неё открывается папка “BIN”, которая содержит основные служебные и рабочие программы. Для запуска в работу системы Паскаль следует найти и щелкнуть на рабочий ярлык “TURBO.exe” или “BP.exe”. Дальше работа идёт так же, как и в предыдущем примере, до получения решения. Выделение решения производится иначе: Правой кнопкой мыши надо щелкнуть на верхней строке рамки решения – появится меню. Далее из меню выделить: «заменить» -> «пометить». После этого отметить нужную часть решения и нажать клавишу «Enter». Решение будет в буфере. Далее работа та же, что и в первом примере.

Заметим, что в каждом компьютере в зависимости от установки Паскаля могут возникнуть некоторые отличия от рассмотренных примеров.

Рекомендуемая литература

1. Осипов Л.А. Техническое обоснование проекта систем массового обслуживания: Учебное пособие. – М.: РОАТ МИИТ, 2011.(№198 на складе).

2. Осипов Л.А. Проектирование систем массового обслуживания: Монография. – М.: «Адвансед Солюшенз», 2011. (Может быть приобретена в Интернете «OZON.ru»).

3. Осипов Л.А., Левчук Т.В. Учебная практика: Электронное учебное пособие. – М.: РОАТ МИИТ, система «Космос», 2012.

Методы компьютерного моделирования

Под экономико-математическим моделированием мы будем понимать построение и изучение на базе современной вычислительной техники экономико-математической модели, способной заменить исследуемый экономический объект.

Моделью, называют некий объект, который способен в определенных условиях замещать собой исследуемую систему, воспроизводя при этом все интересующие исследователя свойства и характеристики оригинала. При этом модель должна быть более проста для исследования, чем исходная система.

Идеальное моделирование отличается от материального тем, что оно основано не на материализованной аналогии объекта и моде­ли, а на аналогии идеальной, мыслимой и всегда носит теоре­тический характер.

Материальное моделирование — это моделирование, при кото­ром исследование объекта выполняется с использованием его ма­териального аналога, воспроизводящего основные физические, гео­метрические, динамические и функциональные характеристики данного объекта. К таким моделям, например, можно отнести ис­пользование макетов в архитектуре, моделей и экспериментальных образцов при создании различных транспортных средств.

Основными разновидностями материального моделирования являются натурное и аналоговое. При этом оба вида моделирова­ния основаны на свойствах геометрического или физического по­добия. Изучени­ем условий подобия явлений занимается теория подобия (рис. 1.).

Рис. 1. Типы моделирования

Идеальное моделирование разделяют на два основных типа: ин­туитивное и научное.

Интуитивное моделирование — это моделирование, основанное на интуитивном (не обоснованном с позиций формальной логики) представлении об объекте исследования, который не поддается форма­лизации или не нуждается в ней.

Научное моделирование — это всегда логически обоснованное мо­делирование, использующее минимальное число предположений, принятых в качестве гипотез на основании наблюдений за объек­том моделирования.

Знаковым называют моделирование, использующее в качестве моделей знаковые изображения какого-либо вида: схемы, графики, чертежи, наборы символов, включающее также совокупность законов и правил, по которым можно оперировать с выбранными знаковыми образованиями и элементами. В качестве примеров таких моделей можно назвать любой язык, например: ус­тного и письменного человеческого общения, алгоритмический, хи­мических формул, живописи, нот для записи музыкальных произ­ведений и т.д. Знаковая форма используется для передачи как на­учного, так и интуитивного знания. Моделирование с помощью математических соотношений также является примером знакового моделирования.

Аналоговое моделирование — это моделирование, основанное на аналогии процессов и явлений, имеющих различную физическую природу, но одинаково описываемых формально (одними и теми, же математическими соотношениями, логическими и структурны­ми схемами). В основу аналогового моделирования положено совпадение математических описаний различных объектов.

При наблюдении за объектом-оригиналом формируется некий мысленный образ объекта, его идеальная модель, которую в научной литерату­ре принято называть когнитивной. Формируя такую модель, исследователь, стремится ответить на конкретные вопросы, поэтому от бес­конечно сложного устройства объекта отсекается все ненужное с целью получения его более компактного и лаконичного описания. Представление когнитивной модели на естественном языке на­зывается содержательной моделью.

Концептуальной моделью принято называть содержательную модель, при формулировке которой используются понятия и пред­ставления предметных областей знания, занимающихся изучением объекта моделирования. В более широком смысле под концептуальной моделью пони­мают содержательную модель, базирующуюся на определенной кон­цепции или точке зрения. Выделяют три вида концептуальных моделей: логико-семантические, структурно-функциональные и причинно-следственные.

Рис. 2. Взаимосвязь моделей

Формальная модель является представлением концептуальной модели с помощью одного или нескольких формальных языков (на­пример, языков математических теорий, универсального языка мо­делирования (UML) или алгоритмических языков). Взаимовлияние уровней моделирования связано со свойством потенциальности моделей. Создание любой модели сопряжено с появлением новых знаний об исследуемом объекте, что ведет к пе­реоценке и уточнению концепций и взглядов на объект моделиро­вания.

Следует отметить, преимущества математического моделирования:

· экономичность (в частности, сбережение ресурсов реальной системы);

· возможность моделирования гипотетических, т.е. не реали­зованных в природе объектов (прежде всего на разных эта­пах проектирования);

· возможность реализации режимов, опасных или трудно воспроизводимых в натуре (критический режим ядерного реак­тора, работа системы противоракетной обороны);

· возможность изменения масштаба времени;

· простота многоаспектного анализа;

· большая прогностическая сила вследствие возможности вы­явления общих закономерностей;

· универсальность технического и программного обеспечения проводимой работы.

Бурное развитие методов математического моделирования и многообразие областей их использования привело к появлению ог­ромного количества моделей самого разного типа. В связи с этим возникает необходимость в определенном упорядочивании, клас­сификации существующих и появляющихся математических моде­лей. Учитывая большое число возможных классификационных признаков и субъективность их выбора, появление все новых клас­сов моделей, следует отметить условность и незавершенность рас­сматриваемой ниже классификации.

Представляется возможным подразделить математические мо­дели на различные классы в зависимости от:

· сложности объекта моделирования;

· оператора модели (подмодели);

· входных и выходных параметров:

· способа исследования модели;

· цели моделирования.

В качестве объекта моделирования может выступать как неко­торое материальное тело или конструкция, так и природный, тех­нологический или социальный процесс либо явление. Все объекты моделирования можно разделить на две группы: простые и объекты-системы (рис. 3).

Рис. 3. Классификация объектов моделирования

Модели объектов-систем, учитывающие свойства и поведение отдельных элементов, а также взаимосвязи между ними, называ­ются структурными. Среди структурных динамических систем выделяют в отдель­ный подкласс имитационные системы, состоящие из конечного числа элементов, каждый из которых имеет конечное число состо­яний. Число связей между элементами также предполагается конеч­ным. Моделирование взаимодействий элементов внутри системы осуществляется с помощью некоторого алгоритма, реализуемого обычно с использованием ЭВМ. Для моделирования на ЭВМ реального времени вводится понятие системного времени. В качестве моделей отдельных элементов могут быть использованы модели любого типа. Как правило, взаимодействие внешней среды со сложной сис­темой полностью проследить не удается, что приводит к неопреде­ленности внешних воздействий и, как следствие, неоднозначности в поведении самой системы. Наличие подобной неопределенности является характерной особенностью сложных систем.

Любая математическая модель может рас­сматриваться как некоторый оператор, который является алгоритмом, или определяется совокупностью уравнений — алгебраи­ческих, обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), си­стем ОДУ (СОДУ), дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП), интегральных и дифференциальных уравнений (ИДУ) и др. (рис. 4).

Рис. 4. Классификация в зависимости от оператора модели

Исторически первыми стали раз­рабатываться и исследоваться линейные математические модели. Область применения подобных моде­лей очень широка. При этом, все чаше возникает потребность не только в повышении точности моделирова­ния, но и в создании качественно новых моделей, учитывающих не­линейность поведения реальных объектов исследования. Анализ подобных моделей намного слож­нее, чем линейных, причем разра­ботка методики и общих подходов к исследованию, далеки от завершения. Являясь более богатым и сложным, мир нелинейных моделей представля­ется для современной науки более перспективным в плане откры­тия новых закономерностей и описания сложных явлений.

Количество параметров всех типов в математических моделях могут принад­лежать любому бесконечномерному функциональному простран­ству. При этом каждый из параметров может иметь различную «ма­тематическую природу»: быть постоянной величиной или функци­ей, скаляром или вектором, четким или нечетким множеством и т.д. По своей природе характеристики объекта могут быть как ка­чественными, так и количественными. Введение тех или иных количественных характеристик объекта моделирования возможно при наличии эталона сравнения. Для коли­чественной характеристики вводятся числа, выражающие отноше­ния между данным параметром и эталоном. Кроме того, количе­ственные значения параметра могут выражаться дискретными или непрерывными величинами. Качественные характеристики находят­ся, например методом экспертных оценок. В зависимости от вида используемых множеств параметров модели могут подразделяться на качественные и количественные, дискретные и непрерывные, а также смешанные.

При построении моделей реальных объектов и явлений очень часто приходится сталкиваться с недостатком информации. Как правило, для любого исследуемого объекта распределение свойств, параметры воздействия и начальное состояние известны с той или иной степенью неопределенности. Это связано с множеством трудно учитываемых факторов, ограниченностью числа используемых па­раметров модели, конечной точностью экспериментальных изме­рений.

Рис. 5. Классификация математических моделей в зависимости от параметров

При построении модели возможны следующие варианты описания неопределенности параметров:

· детерминированное — значения всех параметров модели оп­ределяются детерминированными величинами (т.е. каждому пара­метру соответствует конкретное целое, вещественное или комплек­сное число либо соответствующая функция). Данный способ соот­ветствует полной определенности параметров;

· стохастическое — значения всех или отдельных параметров модели определяются случайными величинами, заданными плот­ностями вероятности;

· случайное - значения всех или отдельных параметров моде­ли устанавливаются случайными величинами, заданными оценка­ми плотностей вероятности, полученными в результате обработки ограниченной экспериментальной выборки данных параметров. Эта форма описания тесно связана с предыдущей. Однако в рассматри­ваемом случае получаемые результаты моделирования будут суще­ственным образом зависеть от точности оценок моментов и плот­ностей вероятности случайных параметров, от постулируемых за­конов распределения и объема выборок;

· интервальное — значения всех или отдельных параметров мо­дели описываются интервальными величинами, заданными интер­валом, образованным минимальным и максимально возможными значениями параметра;

· нечеткое - значения всех или отдельных параметров модели описываются функциями принадлежности соответствующему не­четкому множеству. Такая форма используется, когда информация о параметрах модели задается экспертом на естественном языке, а следовательно, в «нечетких» (с позиции математики) терминах типа «много больше пяти», «около нуля».

В теории игр встречается еще один вид неопреде­ленности параметров модели, называемый игровой неопределеннос­тью. Разделение моделей на одномерные, двухмерные и трехмерные применимо для таких моделей, в число параметров которых входят координаты пространства, и связано с особенностями реализации этих моделей, равно как и с резким увеличением, их сложности при возрастании размерности. Как правило, увеличение размернос­ти модели приводит к росту числа используемых математических соотношений.

Из всей совокупности параметров при разработке различных моделей отдельно следует рассмотреть учет времени. Как и коор­динаты, время относится к независимым переменным, от которых могут зависеть остальные параметры модели. В различных ситуа­циях объект исследования может по разному испытывать влияние времени. Обычно чем меньше масштаб объекта, тем существеннее зависимость его параметров от времени. Любой объект стремится перейти в некоторое равновесное состояние, как с окружающей его средой, так и между отдельными эле­ментами самого объекта. Нарушение этого равновесия приводит к изменениям различных параметров объекта и его переходу в новое равновесное состояние. При построении модели важным является сравнение времени существенных изменений внешних воздействий и характерных времен перехода объекта в новое равновесное состояние с окружа­ющей средой, а также времени релаксации, определяющего уста­новление равновесия между отдельными элементами внутри объек­та. Совокупность значений параметров модели в некоторый мо­мент времени или на данной стадии называется состоянием объек­та. Если скорости изменения внешних воздействий и параметров состояния изучаемого объекта достаточно велики, то учет времени необходим. В этом слу­чае объект исследования рассматривают в рамках динамического процесса. Условие движения отдельных элементов исследуемого объекта не является обязательным условием включения времени в число па­раметров модели.

Заметим, что для значительной части реальных процессов ста­ционарные режимы являются наиболее предпочтительными. Пос­ле их определения проверяется устойчивость стационарного режима, что во многих случаях требует постановки и решения неста­ционарной задачи для возмущений стационарного решения. В ряде случаев, когда определение стационарных режимов из аналитичес­кого решения или некоторых эвристических соображений затруд­нено, их поиск осуществляется методом установления соответству­ющей нестационарной задачи. Следует отметить, что этим методом довольно часто пользуются при решении стационарных задач численными методами, поскольку ме­тоды решения нестационарных задач часто оказываются существен­но эффективнее, чем стационарных.

Целью дескриптивных моделей яв­ляется установление законов изменения параметров модели. В ка­честве примера такой модели можно привести модель движения ма­териальной точки под действием приложенных сил, использующая второй закон Ньютона. Задавая положение и скорость точки в на­чальный момент времени (входные параметры), массу (собствен­ный параметр) и закон изменения прикладываемых сил (внешние воздействия), можно определить скорость и координаты материаль­ной точки в любой момент времени (выходные параметры). Полу­ченная модель описывает зависимость выходных параметров от входных данных. Поэтому дескриптивные модели являются реализацией описательных и объяснительных содержательных моделей на фор­мальном уровне моделирования.

Рис. 6. Классификация е зависимости от целей моделирования

Оптимизационные модели предназначены для определения оп­тимальных с точки зрения некоторого критерия па­раметров моделируемого объекта или же для поиска оптимального режима управления некоторым процессом. Часть параметров модели относят к параметрам управления, изменяя которые можно получать различные варианты наборов значений выходных параметров. Как правило, данные модели строятся с использованием одной или нескольких дескриптивных моделей и включают некоторый критерий, позволяющий сравнивать различ­ные варианты наборов значений выходных параметров между со­бой с целью выбора наилучшего. На область значений входных параметров могут быть наложены ограничения в виде равенств и неравенств, связанные с особенностями рассматриваемого объекта или процесса. Целью оптимизационных моделей является поиск таких допустимых параметров управления, при которых критерий выбора достигает своего «наилучшего значения». Отметим, что для большинства реальных процессов, конструк­ций требуется определение оптимальных параметров сразу по не­скольким критериям, т.е. мы имеем дело с так называемыми мно­гокритериальными задачами оптимизации. При этом нередкими являются ситуации противоречивости критериев, для решения подобных задач используются специальные методы и алгоритмы. Методы формирования критериев оптимальности в зависимо­сти от вида неопределенности рассматриваются в теории выбора и принятия решений, которая базируется на теории игр и исследовании операций.

Рис. 7. Классификация в зависимости от методов реализации

Управленческие модели применяются для принятия эффектив­ных управленческих решений в различных областях целенаправлен­ной деятельности человека. В общем случае принятие решений яв­ляется процессом, по своей сложности сравнимым с процессом мышления в целом. Однако на практике под принятием реше­ний обычно понимается выбор некоторых альтернатив из заданно­го их множества, а общий процесс принятия решений представля­ется как последовательность таких выборов альтернатив. Поскольку оптимальность принятого решения даже в одной и той же ситуации может пониматься по-разному, вид критерия оп­тимальности в управленческих моделях заранее не фиксируется. Именно в этом состоит основная особенность данных моделей.

Метод реализации модели относят к аналитическим, если он по­зволяет получить выходные параметры в виде аналитических выражений, т.е. выражений, в которых используется не более чем счет­ная совокупность арифметических операций и переходов к пределу. Частным случаем аналитических выражений являются алгебра­ические выражения, в которых используется конечное или счетное число арифметических операций, операций возведения в целочис­ленную степень и извлечения корня. Очень часто аналитическое решение для модели представляют в элементарных или специальных функциях: показательных, лога­рифмических, тригонометрических, гиперболических и т.п. Аналитические методы реализации модели являются более цен­ными в том плане, что позволяют с меньшими вычислительными затратами изучить свойства объекта моделирования, применяя тра­диционные хорошо развитые математические методы анализа ана­литических функций. Существенно, что применение аналитичес­ких методов возможно без использования ЭВМ. Кроме того, знание аналитического выражения для искомых параметров позволяет исследовать фундаментальные свойства объекта, его качественное поведение, строить новые ги­потезы о его внутренней структуре. Следует отметить, что возмож­ности аналитических методов существенно зависят от уровня раз­вития соответствующих разделов математики.

При численном подходе совокупность математических соотно­шений модели заменяется конечномерным аналогом. Это чаще всего достигается дискретизацией исходных соотношений, т.е. переходом от функций непрерывного аргумента к функциям дискрет­ного аргумента. После дискретизации исходной задачи выполня­ется построение вычислительного алгоритма, т.е. последовательно­сти арифметических и логических действий, выполняемых на ЭВМ и позволяющих за конечное число шагов получить решение диск­ретной задачи. Найденное решение дискретной задачи принимает­ся за приближенное решение исходной математической задачи.

Степень приближения определяемых с помощью численного метода искомых параметров модели зависит как от погрешностей са­мого метода, связанных с заменой исходной модели ее дискретным аналогом, так и от ошибок округления, возникающих при выполне­нии любых расчетов на ЭВМ в связи с конечной точностью пред­ставления чисел в ее памяти. Основным требованием к вычисли­тельному алгоритму является необходимость получения решения исходной задачи с заданной точностью за конечное число шагов.

Алгоритмические модели, использующие как численный, так и имитационный подход, не позволяют получить решения задач в аналитической форме, что затрудняет и усложняет процесс анали­за результатов моделирования. Использование математической модели, построенной алгорит­мическими методами, аналогично проведению экспериментов с ре­альным объектом, только вместо реального эксперимента с объек­том проводится вычислительный эксперимент с его моделью. Зада­ваясь конкретным набором значений исходных параметров модели, в результате вычислительного эксперимента находим конкретный набор приближенных значений искомых параметров. Для исследо­вания поведения объекта при новом наборе исходных данных необ­ходимо проведение нового вычислительного эксперимента.