Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Краткие сведения из теории. 1.1 Общие понятия теории массового обслуживания

Читайте также:
  1. I. Исторические аспекты возникновения теории инвестиций и инвестиционного менеджмента.
  2. I. Исторические аспекты возникновения теории инвестиций и инвестиционного менеджмента.
  3. I. Общие сведения о больном
  4. I. Общие сведения о больном
  5. I. Основные парадигмы классической социологической теории.
  6. I. Социальное взаимодействие и социальное отношение. Теории социального взаимодействия.
  7. I. Теории социального неравенства.
  8. II Отказ от предположений неоклассической теории
  9. II. Методология теории государства и права.
  10. II. Неклассическая парадигма социологической теории.

 

1.1 Общие понятия теории массового обслуживания

Основной задачей теории массового обслуживания является установление количественных зависимостей между числом приборов обслуживания, характеристиками входящего потока требований (заявок) и качеством обслуживания. При этом под качеством обслуживания понимается, насколько своевременно проведено обслуживание поступивших в систему требований, насколько полно загружены обслуживающие приборы, не велик ли уход из системы не обслуженных требований, не создается ли большая очередь.

Каждая система массового обслуживания (СМО) состоит из какого-то количества обслуживающих единиц, которые называются каналами обслуживания (это станки, транспортные тележки, роботы, линии связи, кассиры, продавцы и т.д.). Всякая СМО предназначена для обслуживания какого-то потока заявок (требований), поступающих в какие-то случайные моменты времени.

Обслуживание заявки занимает случайное время, после чего канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времени обслуживания может привести к тому, что в какие – то периоды времени на входе СМО скапливается излишне большое количество заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО необслуженными). В другие же периоды СМО будет работать с недогрузкой или вообще простаивать.

Предмет теории массового обслуживания – построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, правила работы, характер потока заявок) с показателями эффективности СМО. Эти показатели описывают способность СМО справляться с потоком заявок. Ими могут быть: среднее число заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени; среднее число занятых каналов; среднее число заявок в очереди; среднее время ожидания обслуживания и т.д.

По своему составу СМО делятся на системы с одним обслуживающим прибором (каналом) и многими приборами обслуживания, называющимися соответственно одноканальными и многоканальными.

Многоканальные системы могут состоять из однотипных или разнотипных приборов.

По времени пребывания требований в системе до начала обслуживания СМО делятся на:

- системы с отказами;

- системы с неограниченным временем ожидания;

- системы смешанного типа (с ограниченным временем ожидания).

В системах с отказами всякое поступившее требование, застав все приборы занятыми, покидает систему.

В системах с неограниченным временем ожидания поступившее в систему требование и обнаружившее все приборы занятыми вынуждено ожидать своей очереди до момента освобождения какого-нибудь (или определенного) прибора.

В системах смешанного типа поступившие требования, застав все приборы занятыми, становятся в очередь. Но в ней они находятся ограниченное время, по истечении которого покидают систему. К смешанным системам относятся также системы с ограниченной длиной очереди.

Поток событий – последовательность однородных или неоднородных событий, которые наступают через случайные промежутки времени. Случайные временные интервалы между наступлениями событий в потоке могут подчиняться различным законам распределения. В большинстве работ по теории массового обслуживания, особенно прикладного характера, рассматривается пуассоновский (простейший) поток, в котором вероятность поступления в промежуток времени t ровно k требований задается формулой Пуассона:

,

где λ – плотность потока требований.

Простейший поток теории массового обслуживания играет такую же роль, как нормальный закон распределения случайных величин в теории вероятностей.

Простейший поток обладает тремя основными свойствами: стационарностью, отсутствием последействия и ординарностью.

Случайный поток называется стационарным, если вероятность поступления определенного количества требований в течение определенного отрезка времени зависит от его (отрезка) величины и не зависит от начала его отсчета на оси времени, то есть зависит от величины времени τ и не зависит от положения этого интервала на временной оси.

Отсутствие последействия означает, что события, образующие поток, появляются в те или иные моменты времени независимо друг от другаи вызваны каждое своими собственными причинами.

Ординарность потока требований означает практическую невозможность появления двух и более требований в один и тот же момент времени.

Важной характеристикой потока является его интенсивность, которая определяется как математическое ожидание числа требований, поступающих за единицу времени. Интенсивность потока событий – это среднее число событий, приходящееся на единицу времени.

Математическое ожидание числа требований, поступающих за время (0, t) равно

Для нестационарных простейших потоков вероятность появления k требований за время Δ t зависит не только от величины Δ t но и от момента t0, который является началом этого промежутка.

Кроме характеристик потока событий, поступающих в систему обслуживания, режим работы системы зависит от времени обслуживания прибором одного требования. Время обслуживания является важнейшей характеристикой каждого канала и определяет его пропускную способность. Оно представляет собой случайную величину в силу нестабильности работы обслуживающих приборов и неидентичности поступающих в систему требований. Полной характеристикой времени обслуживания является закон распределения:

.

Для большого количества СМО принимается показательный закон распределения времени обслуживания, то есть

,

плотность вероятности для которого определяется по формуле:

,

где μ – математическое ожидание числа требований, обслуженных прибором за единицу времени.

Выходящий поток играет существенную роль в том случае, если он сам образует входящий поток для других приборов, расположенных последовательно с первым. Поток, проходя через каждую группу приборов, искажается и становится все более сложным.

Показатели эффективности зависят от 3 групп факторов: характеристик качества и надежности системы; экономических показателей (стоимости системы, трудовых затрат обслуживающего персонала, убытков, связанных с несвоевременным обслуживанием и т.д.); особенностей ситуации, в которой обслуживается система (параметров потока требований, ограничений на длину очереди и т.д.).

В зависимости от условий эксплуатации системы и принятого показателя эффективности выбирается математическая модель процесса.

Наиболее часто применяемые показатели:

- вероятность потери требования (pn);

- вероятность того, что обслуживанием занято k приборов (pk):

,

где n – число приборов.

- среднее число занятых приборов, характеризующая степень загрузки СМО:

;

- среднее число свободных приборов:

;

- коэффициент простоя приборов

;

- коэффициент занятости оборудования:

;

- среднее время ожидания требований в очереди до начала обслуживания:

,

где

,

где Pk(tож>t) – условная вероятность того, что время ожидания больше t, при условии, что в момент поступления требования в ней обслуживались k требований;

pk – вероятность того, что в системе находится k требований.

- вероятность того, что время ожидания в очереди не продлится больше определенной величины:

;

- средняя длина очереди:

,

где pk – вероятность того, что в системе находится k требований.

Кроме указанных, могут использоваться стоимостные показатели, такие как: стоимость обслуживания каждого требования, стоимость потерь, связанных с простаиванием требований в очереди в единицу времени, стоимость убытков, связанных с уходом требований из очереди и др.

В качестве экономического показателя качества используется стоимость потерь для систем с ожиданием:

,

где qож – стоимость потерь, связанных с ожиданием в очереди в единицу времени;

qпр – стоимость единицы времени простоя прибора;

qbusy – стоимость эксплуатации прибора в единицу времени.

Для системы с отказами:

.

Для смешанной системы:

2.2 Смешанная СМО с одним прибором

СМО состоит из одного прибора и очереди; в системе может одновременно находиться не более чем n требований; очередь упорядоченная. Обозначим через X(t) число требований, находящихся в системе в момент t. Функция X(t) принимает (n+1) значение: x0 – в системе нет требований, x1 – в системе одно требование, …, xn – в системе n требований.

Определим вектор вероятности p(t) = [p0(t), p1(t), …, pn(t)] состояний системы для любого момента времени t, где pq(t) – вероятность того, что функция X(t) в момент времени t принимает значения xq, q = 0, 1, …, n. Заменим непрерывное время t прерывным, меняющимся скачкообразно через интервал Δt и сведем, тем самым, X(t) к простой цепи Маркова. Составим матрицу вероятностей перехода pij (t, t+Δt) из состояния xi в момент t в состояние xi, в момент (t+Δt) при условии, что Δt мало.

Вследствие ординарности входящего потока и показательного закона распределения времени обслуживания за малый интервал Δt не может произойти соответственно более одного поступления и более одного окончания обслуживания. Поэтому в интервале (t, t+Δt) могут произойти следующие переходы:

.

Определим вероятности следующих событий:

1) за интервал (t, t+Δt) в систему не поступит ни одного требования;

2) за интервал (t, t+Δt) прибор не закончит обслуживания.

Вероятность первого события:

.

Вероятность второго события:

Тогда вероятность поступления в систему ровно одного требования за интервал (t, t+Δt) и вероятность того, что за интервал (t, t+Δt) прибор обслужит ровно одно требование равны: 1-(1-λΔt)=λΔt и 1-(1-µΔt)=µΔt, как вероятности событий, противоположных рассмотренным.

Вычислим вероятность pqq(t, t+Δt), где n>q>0. Если в момент t в системе находилось q требований, то событие, состоящее в том, что в момент t+Δt в системе по-прежнему будет находиться q требований, можно рассматривать как сумму следующих несовместных событий:

события А – за интервал (t+Δt) ни одно требование не поступило в систему и ни одно требование не было обслужено Р(А)≈ (1-λΔt)(1-µΔt);

события B – за интервал (t+Δt) в систему поступило ровно одно требование и за это же время прибор закончил обслуживание одного требования и оно покинуло систему. P(B)≈λ∆t*μ∆t.

Таким образом,

так как 2λµΔt2 является величиной бесконечно малой более высокого порядка, чем Δt.

Рассуждая аналогично, можно определить и другие вероятности перехода pij (t, t+Δt).

Переход Вероятность

Учитывая то, что вектор вероятностей простой цепи Маркова в момент времени ti равен произведению вектора вероятностей в момент времени t(i-1) на матрицу переходов, путем нескольких преобразований можно получить следующую формулу вероятности pq:

,

где .

Вычислим основные вероятностные характеристики системы:

1. Математическое ожидание числа требований в системе.

2. Математическое ожидание числа требований в узле обслуживания.

s – число приборов;

qmax – максимальное число требований в системе.

3. Математическое ожидание числа требований в очереди

4. Математическое ожидание числа свободных приборов

5. Вероятность отказа

Пример.

Перед обслуживающим прибором расположен накопитель, в который поступают заявки. Интенсивность потока заявок – 2 заявки в минуту, среднее время обслуживания – 20с, максимальное число заявок в системе – 3. Вычислить основные вероятностные характеристики системы.

Решение.

 

Варианты исходных данных

 

Вариант 1

Дежурный по администрации города имеет один телефон. Телефонные звонки поступают с интенсивностью 90 заявок в час, средняя продолжительность разговора составляет 2 мин. Вычислить основные вероятностные характеристики системы.

 

Вариант 2

СМО представляет собой АЗС с одной колонкой. Площадка возле АЗС позволяет ожидание в очереди не более 2 машин. Поток автомашин на заправку простейший с интенсивностью 35 машин в час. Среднее время заправки составляет 3 мин. Вычислить основные вероятностные характеристики системы.

 

Вариант 3

В магазине самообслуживания установлено, что поток покупателей является простейшим с интенсивностью 2 покупателя в минуту. Среднее время ожидания составляет 1.5 мин. Максимальное количество покупателей 5. Вычислить основные вероятностные характеристики системы.

 

Вариант 4

Пункт по ремонту квартир состоит из двух бригад. Интенсивность потока заявок 30, производительность пункта 20. Вычислить основные вероятностные характеристики системы.

 

Вариант 5

Стол заказов магазина «Продукты» принимает заказы по двум телефонам. Среднее число поступающих заказов в течение часа – 80, среднее время оформления заказа – 3 минуты. Вычислить основные вероятностные характеристики системы.

 

Вариант 6

СМО представляет собой одну кассу для продажи билетов. В среднем через кассу проходят 100 человек в час, среднее время выписки билета – 5 минут. Определить основные вероятностные характеристики СМО, если максимальная длина очереди – 10 человек.

 

Содержание отчета

 

Отчет должен содержать:

– основные положения теории массового обслуживания;

– листинг сессии вычисления вероятностных характеристик;

– полученные результаты.


 




Дата добавления: 2014-12-20; просмотров: 35 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.017 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав