Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Лекция 2. Теория игр

Типовые технически обоснованные нормы времени на работы по текущему содержании и ремонту пути/7,8/ учитывают затраты времени на инструктаж, получение инструмента, приспособление и сдачу его после окончания работы, обслуживание рабочего места, отдых и личные надобности.

Типовыми техническими нормами не учтено время на пропуск поездов и ограждение путевых работ, поэтому при подсчёте затрат труда оно должно учитываться в зависимости от вида ограждения места работы, количества и рода поездов/3/

Коэффициенты потерь рабочего времени к затратам труда и машинного времени в общем виде , определяется по формуле:

;

где		-	продолжительность «окна» или смены, мин;
	t1′, t1″	-	время на пропуск поездов, следующих по ремонтируемому участку и соседнему пути соответственно, мин;

В курсовом проекте определяем коэффициент потерь рабочего времени в «окно» ɑ_ок и вне «окна» ɑ_в.ок.

Коэффициент потерь рабочего времени в «окно», ɑ_ок, определяется по формуле:

Для двухпутного участка время на пропуск графиковых поездов:

-по ремонтируемому пути в «окно» t_ok^′=0

- по соседнему пути в «окно» определяется по формуле:

tʺ_ок ,

где	, ,	-	время на пропуск одного поезда грузового, пассажирского, пригородного, проходящих по соседнему пути соответственно, мин;
	, ,	-	количество поездов, соответствующей категории, проходящих по соседнему пути в «окно».

Количество поездов проходящих по соседнему пути во время «окна» каждой категории определяется как:

,

где

, ,

-количество поездов, соответствующей категории, проходящих по соседнему пути за рабочую смену.

Количество грузовых, пассажирских и пригородных пар поездов, проходящих по участку ремонта пути, в смену принимаем из задания (n^см_гр =8пар/смену, n^см_пасс =8 пар/смену, n^см_приг =6 пар/смену).

, ,

Коэффициент потерь рабочего времени вне «окна», ɑ_в.ок ,определяется по формуле:

где		-	продолжительность рабочего дня или смены, мин;
		-	время на пропуск поездов, следующих по ремонтируемому пути за смену, мин;
		-	время на пропуск поездов, следующих по соседнему пути за смену (при работах на двухпутных и многопутных участках), мин.

Время на пропуск поездов, следующих по ремонтируемому пути, за смену определится как:

t ^′_см=t^′_гр·n^см_гр + t^′_пасс·n^см_пасс +t ^′_приг·n^см_приг,

Время на пропуск поездов, следующих по соседнему пути, за смену определится как:

t ^″_см=t^″_гр·n^см_гр + t^″_пасс·n^см_пасс +t ^″_приг·n^см_приг,

Пропуск поездов по соседнему пути для всех видов ограждения, при производстве работ на одном из путей:

При фронте работ менее 200м: t^″_гр=1мин, t^″_пасс=1мин, t ^″_приг=0,7мин:

t ^″_см=1·5 + 1·5 +0,7·3,75=13 мин,

При фронте работ более 200м: t^″_гр=1,2мин, t^″_пасс=1,2мин, t ^″_приг=0,84мин

t ^″_см=1,2·5 + 1,2·5 +0,84·3,75=15 мин,

Время на пропуск графиковых поездов по соседнему пути в «окно» и коэффициент потерь рабочего времени определяется:

При фронте работ менее 200м пути:

tʺ_ок =1∙5+1∙5+0,7∙3,75=13 мин,

При фронте работ более 200м пути

tʺ_ок =1,2∙5+1,2∙5+0,84∙3,75=15 мин,

Путевые работы ограждаются сигналом «Уменьшения скорости». Тогда мин.; мин.; мин – при фронте работ более 200 м. При фронте работ менее 200 м- мин.; мин.; мин.

Время на пропуск поездов за смену, следующих по ремонтируемому пути, определится как:

При фронте работ менее 200м:

t ^′_см=3∙8+2∙8+1,6∙6=50 мин,

При фронте работ более 200 м:

t ^′_см =3,9∙8+2,6∙8+2,08∙6=65 мин

Путевые работы ограждаются сигналом «Свисток». Тогда мин.; мин.; мин – при фронте работ более 200 м. При фронте работ менее 200 м - мин.; мин.; мин.

При фронте работ менее 200 м:

t ^′_см=2∙8+1,3∙8+1∙6=32 мин,

При фронте работ более 200 м:

t ^′_см=2,4∙8+1,56∙8+1∙6=38 мин,

Путевые работы ограждаются сигналом «остановки» с пропуском без снижения скорости пропуска поездов. Тогда мин.; мин.; мин – при фронте работ более 200 м. При фронте работ менее 200 м- мин.; мин.; мин.

При фронте работ менее 200 м:

t ^′_см=2,6∙8+1,8∙8+1,3∙6=43 мин,

При фронте работ более 200 м:

t ^′_см=3,12∙8+2,16∙8+1,56∙6=52 мин,

Путевые работы ограждаются сигналом «остановки» с пропуском со снижением скорости пропуска поездов. Тогда мин.; мин.; мин – при фронте работ более 200 м. При фронте работ менее 200 м- мин.; мин.; мин.

При фронте работ менее 200 м:

t ^′_см=4∙8+3∙8+2,5∙6=71 мин,

При фронте работ более 200 м:

t ^′_см=6,4∙8+4,8∙8+4∙6=114 мин,

Коэффициент потерь рабочего времени	Фронт работ на пути	Сигналом «остановки» с пропуском поездов по месту работ со снижением скорости	Сигналом «Уменьшение скорости»	Сигналом «остановки» с пропуском поездов по месту работ без снижения скорости	Сигнальным знаком «Свисток»
	>200	1,11	1,11	1,11	1,11
	>200	1,37	1,20	1,16	1,12
	<200	1,10	1,10	1,10	1,10
	<200	1,21	1,15	1,13	1,10

Лекция 2. Теория игр

Теория игр занимается общим анализом стратегического взаимодействия. Ею можно пользоваться при изучении салонных азартных игр, процесса ведения политических переговоров и экономического поведения. В настоящей главе мы вкратце исследуем этот увлекательный предмет, чтобы познакомить вас с его особенностями и с тем, как можно его использовать при изучении экономического поведения на олигополистических рынках.

27.1. Платежная матрица игры

Стратегическое взаимодействие может включать много игроков и много стратегий, но мы ограничимся играми с участием двух лиц, имеющих конечное число стратегий. Это позволит нам без труда изобразить игру с помощью платежной матрицы. Самое простое — рассмотреть сказанное на конкретном примере.

Предположим, что два человека играют в простую игру. Игрок A пишет на листке бумаги одно из двух слов: "верх" или "низ". Одновременно игрок B пишет на листке бумаги "слева" или "справа". После того как они это сделают, листки бумаги передаются на рассмотрение, и каждый из них получает выигрыш, представленный в табл.27.1. Если A говорит "верх", а B говорит "слева", то мы смотрим в верхний левый угол матрицы. В этой матрице выигрыш A показан первой записью в клеточке, 1, а выигрыш B — второй, 2. Аналогично, если A говорит "низ", а B говорит "справа", то A получает выигрыш 1, а B — выигрыш 0.

У игрока A имеются две стратегии: он может выбрать "верх" и может выбрать "низ". Эти стратегии могут представлять собой экономический выбор, такой, например, как "повысить цену" или "снизить цену". Или же они могут представлять собой выбор политический, такой, как "объявить войну" или "не объявлять войны". Платежная матрица игры просто отображает выигрыш каждого игрока при каждой комбинации выбираемых стратегий.

Каков будет исход игры такого рода? Игра, описанная в табл.27.1, имеет очень простое решение. С точки зрения игрока A, для него всегда лучше сказать "низ", так как его выигрыш при таком выборе (2 или 1) всегда больше, чем соответствующие записи в таблице в случае, если бы он сказал "верх" (1 или 0). Аналогично для B всегда лучше сказать "слева", поскольку 2 и 1 лучше, чем 1 и 0. Таким образом, следует ожидать, что стратегия равновесия для A будет заключаться в том, чтобы следовать стратегии "низ", а для B — стратегии "слева".

В этом случае мы имеем дело с доминирующей стратегией. У каждого игрока имеется один оптимальный выбор стратегии независимо от того, что делает другой игрок. Каков бы ни был выбор игрока B, игрок A всегда получит больший выигрыш, если будет следовать стратегии "низ", поэтому ему имеет смысл выбирать стратегию "низ". И каков бы ни был выбор, сделанный игроком A, B получит больший выигрыш, если будет следовать стратегии "слева". Следовательно, эти варианты выбора доминируют над альтернативными, и перед нами — равновесие с доминирующими стратегиями.

Если в какой-то игре у каждого игрока имеется доминирующая стратегия, можно предсказать, что данная игра будет иметь равновесный исход. Ведь доминирующая стратегия есть стратегия, которая является наилучшей вне зависимости от того, что делает другой игрок. В данном примере следовало бы ожидать равновесного исхода, при котором A следует стратегии "низ", получая равновесный выигрыш 2, а B следует стратегии "слева", получая равновесный выигрыш 1.

27.2. Равновесие по Нэшу

Равновесия с доминирующими стратегиями хороши, но встречаются не так уж часто. Например, в игре, описанной в табл.27.1, нет равновесия с доминирующими стратегиями. В ней при выборе игроком B стратегии "слева" выигрыш для A составляет 2 или 0. Если В выбирает "справа", то выигрыш А — от 0 до 1. Это означает, что когда B выбирает стратегию "слева", A захочет выбрать стратегию "верх"; а когда B выбирает стратегию "справа", A захочет выбрать стратегию "низ". Следовательно, оптимальный выбор A зависит от того, каких действий он ожидает от B.

Однако, возможно, равновесие с доминирующими стратегиями связано с чересчур большими требованиями. Вместо требования, чтобы выбор, сделанный игроком A, был оптимальным для всех выборов игрока B, можно просто потребовать, чтобы он был оптимальным для всех оптимальных выборов, сделанных B. Ведь если B — хорошо информированный умный игрок, он захочет выбирать только оптимальные стратегии. (Хотя то, что оптимально для B, будет зависеть также от выбора, сделанного A!)

Мы будем говорить, что пара стратегий приводит к равновесию по Нэшу, если выбор, сделанный A, оптимален при данном выборе B, а выбор, сделанный B, оптимален при данном выборе A[1].

Помните, что ни один из игроков не знает, что будет делать другой, когда ему самому придется выбирать стратегию. Однако у каждого игрока могут иметься какие-то ожидания в отношении возможного выбора другого игрока. Равновесие по Нэшу можно истолковывать как пару таких ожиданий в отношении выбора каждого игрока, что когда выбор каждого становится известным, ни один из игроков не хочет изменить свое поведение.

В случае, представленном в табл.27.2, стратегия ("верх", "слева") приводит к равновесию по Нэшу. Чтобы это доказать, обратите внимание на то, что если A выбирает "верх", то B лучше всего выбрать "слева", так как выигрыш от выбора "слева" составляет для B 1, а от выбора "справа" — 0. Если же B выбирает "слева", то для A лучше всего выбрать "верх", поскольку тогда A получит выигрыш 2, а не 0.

Таким образом, если A выбирает "верх", то оптимальным для B будет выбор "слева"; а если B выбирает "слева", то оптимальным для A будет выбор "верх". В итоге мы имеем равновесие по Нэшу: выбор каждого игрока оптимален при данном выборе другого игрока.

Равновесие по Нэшу есть общий случай описанного в предыдущей главе равновесия по Курно. Там объектами выбора были объемы выпуска, и каждая фирма выбирала свой объем выпуска, принимая выбор другой фирмы постоянным. Предполагалось, что каждая из фирм поступает наилучшим для себя образом при предпосылке о том, что другая фирма будет продолжать производить выбранный ею объем выпуска, т.е. продолжать следовать выбранной стратегии. Равновесие по Курно имеет место тогда, когда каждая из фирм максимизирует прибыль при заданном поведении другой фирмы, а это не что иное, как определение равновесия по Нэшу.

Понятию равновесия по Нэшу нельзя отказать в определенной логике. К сожалению, с ним связаны и некоторые проблемы. Во-первых, игра может иметь больше одного равновесия по Нэшу. В самом деле, в табл.27.2 выбор ("низ", "справа") также есть равновесие по Нэшу. Вы можете либо проверить это с помощью аргументации, использованной выше, либо просто обратить внимание на то, что структура игры симметрична: B имеет при одном исходе те же выигрыши, что A при другом, так что, доказав, что ("верх", "слева") есть равновесие, мы тем самым доказали и что ("низ", "справа") тоже равновесие.

Вторая проблема, связанная с понятием равновесия по Нэшу, состоит в том, что существуют игры, вообще не имеющие равновесия по Нэшу в том смысле, о котором шла речь. Рассмотрим, например, случай, описанный в табл.27.3. Здесь равновесия Нэша в том виде, в каком оно изучалось нами, не существует. Если игрок A следует стратегии "верх", то игрок B захочет выбрать стратегию "слева". Но если игрок B следует стратегии "слева", то игрок A хочет следовать стратегии "низ". Аналогично если игрок A следует стратегии "низ", то игрок B будет следовать стратегии "слева". Если игрок В выбирает стратегию "справа", то А выбирает стратегию "верх".

27.3. Смешанные стратегии

Однако расширив наше определение стратегий, для этой игры можно найти новый род равновесия Нэша. До сих пор мы полагали, что каждый игрок выбирает стратегию раз и навсегда. Иными словами, каждый игрок делает выбор и придерживается его. Это называется чистой стратегией.

Можно представить себе дело и по-другому, допустив, что игроки выбирают стратегии случайно — приписывают каждому выбору определенную вероятность и разыгрывают выбранные стратегии в соответствии с этими вероятностями. Например, A мог бы предпочесть в течение 50% времени следовать стратегии "верх" и в течение 50% времени — стратегии "низ", в то время, как B мог бы предпочесть в течение 50% времени следовать стратегии "слева" и в течение 50% времени — стратегии "справа". Такого рода стратегия называется смешанной.

Если A и B будут придерживаться указанных выше смешанных стратегий, следуя каждой из выбранных ими стратегий в течение половины времени, то с вероятностью 1/4 они закончат игру в каждой из четырех ячеек платежной матрицы. Следовательно, средний выигрыш для A будет равен 0, а для B — 1/2.

Равновесие по Нэшу при смешанных стратегиях — такое равновесие, в котором каждый игрок выбирает оптимальную частоту разыгрывания своих стратегий при заданной частоте разыгрывания выбранных стратегий другим игроком.

Можно показать, что в тех играх, которые мы рассматриваем в этой главе, всегда будет существовать равновесие по Нэшу при смешанных стратегиях. Поскольку при смешанных стратегиях равновесие по Нэшу существует всегда и поскольку этому понятию многие интуитивно доверяют, данное понятие равновесия очень широко используется в анализе игрового поведения. Можно показать, что если в примере, описанном в табл.27.3, игрок A будет следовать стратегии "верх" с вероятностью 3/4 и стратегии "низ" с вероятностью 1/4, а игрок B — следовать стратегии "слева" с вероятностью 1/2 и стратегии "справа" — с вероятностью 1/2, это и будет равновесием по Нэшу.

27.4. Дилемма заключенного

Другая проблема связана с тем, что если в игре имеется равновесие по Нэшу, оно не обязательно ведет к исходам, эффективным по Парето. Рассмотрим, например, игру, описанную в табл.27.4. Эта игра известна как дилемма заключенного. В первоначальной версии игры рассматривалась ситуация, в которой двоих заключенных — соучастников преступления — допрашивают в отдельных комнатах. У каждого из заключенных имеется выбор: либо признаться в преступлении и тем самым впутать другого, либо отрицать свое участие в преступлении. Если признается лишь один из заключенных, его освободят, и обвинение падет на другого заключенного, которого приговорят к 6 месяцам тюремного заключения. Если оба заключенных будут отрицать свою причастность к преступлению, обоих продержат в тюрьме по 1 месяцу в связи с соблюдением формальностей, а если оба игрока признаются, обоих приговорят к 3 месяцам тюремного заключения. Платежная матрица для этой игры приведена в табл.27.4. Записи в каждой клетке матрицы представляют полезность, приписываемую каждым из игроков различным срокам пребывания в тюрьме, которую мы для простоты будем считать продолжительностью их тюремного заключения, взятой со знаком "минус".

Поставьте себя на место игрока A. Если игрок B решит отрицать, что совершил преступление, то, конечно, вам лучше признаться, так как тогда вас освободят. Подобным же образом если игрок B признается, то вам лучше признаться, так как в этом случае вас приговорят не к 6 месяцам тюремного заключения, а только к 3. Следовательно, что бы ни делал игрок B, игроку A выгоднее признаться.

То же самое можно сказать и об игроке B — ему тоже выгоднее признаться. Следовательно, единственное равновесие по Нэшу в этой игре — исход, при котором оба игрока признаются. В действительности исход, при котором оба игрока признаются, — это не только равновесие по Нэшу, но и равновесие при доминирующих стратегиях, поскольку у каждого игрока имеется один и тот же оптимальный выбор, независимый от выбора другого игрока.

Но если бы они оба держали язык за зубами, им обоим это было бы выгоднее! Если бы они оба могли быть уверены в том, что другой промолчит, и договорились бы между собой не признаваться, то выигрыш каждого составил бы —1, что было бы выгодно обоим. Стратегия ("отрицать", "отрицать") эффективна по Парето, другой стратегии, которая была бы выгодна сразу обоим, нет, в то время, как стратегия ("признаться", "признаться") неэффективна по Парето.

Проблема состоит в том, что заключенные лишены возможности координировать свои действия. Если бы каждый из них мог доверять другому, благосостояние обоих повысилось бы.

Дилемма заключенного применима к широкому кругу экономических и политических явлений. Рассмотрим, например, проблему контроля над вооружением. Можно интерпретировать стратегию "признаться" как "развертывать новые ракеты", а стратегию "отрицать" — как "не развертывать новые ракеты". Обратите внимание на то, что выигрыши вполне подходят для такой игры. Если мой противник развертывает свои ракеты, я, конечно, захочу развертывать свои несмотря на то, что наилучшей стратегией для нас обоих было бы придти к соглашению о неразвертывании ракет. Однако если не существует способа заключить соглашение, реально обязывающее его участников к выполнению, мы в итоге оба развернем ракеты и благосостояние обоих понизится.

Другой хороший пример применения дилеммы заключенного — проблема мошенничества в картеле. Теперь можно интерпретировать "признаться" как "превысить квоту выпуска", а "отрицать" — как "придерживаться первоначальной квоты". Если вы думаете, что другая фирма собирается придерживаться своей квоты, вам выгоднее превысить свою квоту. А если вы думаете, что другая фирма превысит свою квоту выпуска, то и вы тоже можете это сделать!

Дилемма заключенного вызвала большие споры в отношении того, как же "правильно", или, точнее, как разумнее играть в эту игру. Ответ, похоже, зависит от того, разыгрывается ли игра в течение одного периода или повторяется бесконечное число раз.

Если в игру играют только один раз, то разумной представляется стратегия нарушения условий соглашения — в рассматриваемом примере это стратегия "признаться". В конце концов, что бы ни делал другой, вам выгоднее следовать данной стратегии, и у вас нет способа повлиять на поведение другого игрока.

27.5. Повторяющиеся игры

В предыдущем параграфе игроки встречались только один раз и разыгрывали игру "дилемма заключенного" лишь единожды. Дело, однако, обстоит по-иному, если игра разыгрывается одними и теми же игроками повторно. В этом случае перед каждым из игроков открываются новые стратегические возможности. Если другой игрок в одном из раундов решит нарушить соглашение, то вы можете нарушить его в следующем раунде. Таким образом, ваш противник может быть "наказан" за "плохое" поведение. При повторяющейся игре у каждого игрока имеется возможность упрочить свою репутацию в качестве партнера для сотрудничества и тем самым поощрить другого к тому же.

Окажется ли такого рода стратегия жизнеспособной, будет зависеть от того, разыгрывается ли эта игра конечное или бесконечное число раз.

Рассмотрим первый случай, когда обоим игрокам известно, что игра разыгрывается, скажем, 10 раз. Каков будет исход такой игры? Предположим, что мы рассматриваем раунд 10. Согласно принятой предпосылке, это последний раунд игры. Представляется вероятным, что в этом случае каждый из игроков выберет равновесие с доминирующими стратегиями и нарушит соглашение. В конце концов, сыграть в игру в последний раз — все равно, что сыграть в нее всего один раз, поэтому следует ожидать такого же исхода.

Посмотрим теперь, что произойдет в раунде 9. Только что мы пришли к выводу, что в раунде 10 каждый игрок нарушит соглашение. Зачем же тогда сотрудничать в раунде 9? Если вы поддерживаете соглашение, то другой игрок вполне может нарушить его и сейчас, воспользовавшись вашей порядочностью. Подобным образом может рассуждать каждый из игроков и, следовательно, каждый нарушит соглашение.

Теперь рассмотрим раунд 8. Если другой игрок намеревается нарушить соглашение в раунде 9... и далее проводятся те же рассуждения. При игре, имеющей заранее известное неизменное число раундов, каждый игрок будет нарушать соглашение в каждом из раундов. Если не существует способа добиться сотрудничества в последнем раунде, то не будет существовать и способа добиться сотрудничества в предпоследнем раунде и т.д.

Игроки сотрудничают друг с другом в надежде на то, что это послужит стимулом для сотрудничества в будущем. Но для этого необходимо, чтобы возможность игры в будущем существовала всегда. Поскольку в последнем раунде возможность игры в будущем отсутствует, на сотрудничество никто не пойдет. Но тогда почему кто-то должен пойти на сотрудничество в предпоследнем раунде? Или в раунде, ему предшествующем? И т.д., в том же духе — чтобы понять, возможно ли кооперативное решение в дилемме заключенного с известным и неизменным числом раундов, рассуждения надо проводить начиная с конца.

Если, однако, игра будет повторяться неограниченное число раз, у вас есть способ повлиять на поведение вашего противника: в случае его отказа сотрудничать в этот раз вы можете отказаться сотрудничать в следующий раз. До тех пор, пока будущий выигрыш обе стороны интересует, угрозы отказа от сотрудничества в будущем может оказаться достаточно, чтобы убедить людей следовать стратегии, эффективной по Парето.

Убедительно продемонстрировал это эксперимент, недавно проведенный Робертом Аксельродом1. Он попросил десятки экспертов по теории игр представить на рассмотрение свои любимые стратегии для дилеммы заключенного, а затем провел компьютерный "турнир", в котором эти стратегии были выставлены друг против друга. На компьютере каждая из предложенных стратегий проигрывалась против каждой другой, а компьютер отслеживал общий выигрыш.

Стратегией-победителем — той, которая дала наибольший совокупный выигрыш, — оказалась самая простая из стратегий. Она называется "зуб за зуб" и состоит в следующем. В первом раунде вы вступаете в сотрудничество — следуете стратегии "отрицать". В каждом последующем раунде вы продолжаете сотрудничество, если ваш противник шел на сотрудничество в предыдущем раунде, и нарушаете соглашение, если он нарушил его в предыдущем раунде. Другими словами, что бы ни сделал ваш противник в предыдущем раунде, вы это воспроизводите в настоящем раунде. Вот и все, что требуется делать.

Стратегия "зуб за зуб" срабатывает очень хорошо, потому что предлагает немедленное наказание за нарушение соглашения. Это также и стратегия прощения: другой игрок наказывается за каждое нарушение соглашения только один раз. Если он исправляется и начинает сотрудничать, то стратегия "зуб за зуб" вознаграждает его сотрудничеством. Данная стратегия представляется на удивление удачным механизмом получения эффективного исхода в игре "дилемма заключенного", проигрываемой неопределенное число раз.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

Рассмотрим стратегию "зуб за зуб" в повторяющейся игре "дилемма заключенного". Предположим, что один из игроков совершает ошибку и нарушает соглашение, хотя собирался сотрудничать. Что при этом произойдет, если оба игрока будут продолжать следовать стратегии "зуб за зуб"?

Всегда ли равновесия с доминирующими стратегиями являются равновесиями по Нэшу? Всегда ли равновесия по Нэшу являются равновесиями с доминирующими стратегиями?

Допустим, что ваш противник не следует стратегии, равновесной по Нэшу. Должны ли вы в таком случае следовать вашей равновесной по Нэшу стратегии?

Известно, что игра "дилемма заключенного", разыгрываемая в один раунд, имеет результатом равновесие по Нэшу с доминирующими стратегиями, которое является неэффективным по Парето. Предположим, что мы позволим двум заключенным отомстить после того, как они отсидят в тюрьме предполагаемый срок. На какую сторону игры это могло бы оказать формальное воздействие? Мог бы при этом возникнуть исход, эффективный по Парето?

Какова доминирующая стратегия в равновесии по Нэшу для повторяющейся игры "дилемма заключенного", если оба игрока знают, что игра закончится после одного миллиона повторений? Если бы вы собирались провести эксперимент с людьми, разыгрывающими данный сценарий, каков был бы ваш прогноз в отношении возможности использования игроками данной стратегии?

Допустим, что в последовательной игре, описанной в настоящей главе, первый ход делает не игрок A, а игрок B. Нарисуйте новую игру в экстенсивной форме. Каково равновесие в этой игре? Что предпочтет игрок B — делать ход первым или вторым?

Равновесие Курно

10.1. Рынок сбыта электролампочек находится в условиях олигополии, где имеется два продавца, их объемы производства определяются формулами:

Q₁ =120-2 Q₂;

Q₂ =120-2 Q₁,

где Q₁, Q₂ – объемы продаж 1-й, 2-й фирм.

Определите:

а) функции реагирования (кривые спроса) аналитически и графически;

б) объем продаж каждой фирмы.

Решение

а) Функция реагирования показывает зависимость объема выпуска одной фирмы от поведения другой фирмы. Построим кривые спроса для Q₁, Q₂ как линейные функции.

Если Q₁ =0, то Q₂ =60; если Q₂ =0 то Q₁ =120;

Если Q₂ =0, то Q₁ =60; если Q₁ =0 то Q₂ =120.

Получаем функции реагирования, отображенные на рис. 10.1.

б) Составим уравнения спроса для каждой фирмы:

Тогда для Q₁ получаем:

Q₁ =120-2(120–2 Q₁), или Q₁ =120-240+4 Q₁

Отсюда Q₁ =40. Аналогично Q₂ =40.

Ответ: Q₁ = Q₂ =40.

10.2. В отрасли, производящей легковые автомобили "Ока", действуют две фирмы. Спрос на них описывается уравнением:

P =100- Q_d, (10.1)

где P – цена одного автомобиля в тыс. руб.;

Q_d – количество легковых автомобилей в тыс. штук.

Предельные издержки обеих фирм постоянны и равны 7 тыс. руб.

Определите:

а) объем выпуска автомобилей для каждой фирмы;

б) цену легкового автомобиля.

Решение

а) Будем использовать формулу Курно для олигополии, состоящей из двух конкурирующих фирм:

где P_m – максимальная цена автомобиля.

Из уравнения (10.1) получаем, что P_m =100 (т.к. Q =0), следовательно:

(тыс. шт.).

б) Для расчета цены можно использовать формулу:

,

или определить цену из уравнения спроса (10.1). Тогда соответственно получаем:

(тыс. руб.);

P=100-2×31=38 (тыс. руб.).

Покажем это графически (рис. 10.2).

Ответ: Q_1,2 =31; P =38.

10.3. В отрасли действуют две фирмы. Спрос на всю продукцию фирм задан соотношением:

P =75-0,5 Q_d,

где Q_d – объем спроса в тыс. штук;

P – цена товара в руб.

Предельные издержки (MC) не меняются и равны 15 руб. Определить параметры производства для фирм.

Решение

Используем формулы Курно:

. (10.2)

. (10.3)

Из уравнения спроса мы видим, что P_m – максимальная цена при Q =0 равна 75 руб. и b =0,5. Тогда получаем:

тыс. штук.

руб.

Или из уравнения спроса получаем:

P =75–0,5×40×2=35 руб.

Ответы:

Q_1,2 =40 тыс. шт.

P_1,2 =35 руб.

10.4. Функции общих издержек для двух фирм в условиях дуополии Курно выражаются уравнениями:

TC₁ =0,2+6 Q₁ +0,5 Q₁²;

TC₂ =2-4 Q₂ + Q₂².

Рыночный спрос определяется уравнением:

P =20-2 Q.

Определите:

а) параметры производства для фирм;

б) прибыль, получаемую каждой фирмой.

Решение

а) Объем выпуска определяем по формуле (10.2), при этом P_m =20 и b =2 – из условия задачи.

Из функций общих издержек найдем значения MC₁ и MC₂. По условию, MC = TC ¢, тогда:

MC₁ =6+ Q₁ и MC₂ =-4+2 Q_2.

Из уравнения (10.2) получаем:

, отсюда 7 Q₁ =14 и Q₁ =2.

, отсюда 8 Q₂ =24 и Q₂ =3.

Тогда P =20-2(Q₁ + Q₂)=20-2(2+3)=10.

б) Прибыль фирмы рассчитываем по формуле:

PR = TR - TC. (10.4)

Тогда:

PR₁ = TR₁ - TC₁ = P × Q₁ - TC₁= 10×2-0,2-6×2-0,5×2²=20-14,2=5,8.

PR₂ = TR₂ - TC₂ = P × Q₂ - TC₂ =10×3-2+4×3-3²=42-11=31.

Ответы:

а) Q₁ =2; Q₂ =3; P =10.

б) PR₁ =5,8; PR₂ =31.

10.5. Функция издержек (TC) для двух фирм имеют значения:

TC₁ =600+3 Q₁;

TC₂ =20+ Q₂²,

где Q₁, Q₂ – объем выпуска однородной продукции 1-й и 2-й фирм в шт.

Рыночный спрос задан функцией:

Q_d =100- P,

где Q_d – объем спроса в шт.;

P – цена товара в руб.

Определите:

а) параметры равновесия по Курно;

б) рыночную власть каждой фирмы.

Решение

а) Для определения равновесия по Курно используем формулу (10.2), при этом P_m =100 и b =1 из условия задачи.

Из функций общих издержек находим значения MC₁ и MC₂. Тогда:

MC = TC ¢ и MC₁ =3 MC₂ =2 Q₂.

Следовательно:

,

, отсюда 5 Q₂ =100 и Q₂ =20.

Из функции спроса получаем: P =100- Q_d =100-(33+20)=47.

б) Рыночную власть определяем на основе индекса Лернера по формуле:

,

где PR – прибыль фирмы, руб.;

TR – общий доход, руб.

Но PR = TR - TC, тогда:

PR₁ = TR₁ - TC₁ =47×33-600-3×33=1551-699=852.

.

PR₂ = TR₂ - TC₂ =47×20-20-400=940-420=520.

.

Ответы:

а) Q₁ =33; Q₂ =20; P =47.

б) I_L1 =0,55; I_L2 =0,55.

^[1] Джон Нэш — американский математик, который сформулировал это фундаментальное понятие теории игр в 1951 г.

1 Роберт Аксельрод — политолог из Мичиганского университета.