Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ПОБУДОВА МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ СИСТЕМ КЕРУВАННЯ ПОВІТРЯНИМ СУДНОМ

Об'єктом керування в розглянутій системі є літак. Одержимо спрощені рівняння динаміки літака при наступних допущеннях:

– зневажаємо варіаціями швидкості і впливом сили ваги;

– будемо розглядати літак статично стійким; як тверде тіло постійної маси m.

На рис.3.1 показані основні сили й моменти, що діють на літак у поздовжній площині. Позитивні напрямки відліку кутів атаки , тангажа , кута нахилу дотичній до траєкторії , відхилення керма висоти прийняті проти годинникової стрілки, якщо дивитися з осі .

Рис. 3.1. Сили й моменти, що діють на літак.

Тоді рівняння моментів у поздовжній площині ЛА (щодо осі зв'язаної системи координат) буде мати такий вигляд:

,

(3.1)

де - момент інерції навколо осі ;

- момент демпфірування;

- флюгерний момент;

- керуючий момент;

- момент, що обурює;

, , - частки похідні моменту тангажа , відповідно по параметрах і .

З обліком рис.3.1, на підставі 2-го закону Ньютона одержимо рівняння сил:

,

(3.2)

де - радіус кривизни траєкторії руху центру мас ЛА.

У правій частині рівняння (3.2) записані складові на вісь , створювані відповідно силою тяги двигуна , піднімальною силою крил і органами керування , а сила, що також обурює, . При цьому враховане, що кут атаки для літаків звичайно не перевищує 20°С.

До рівнянь (3.1) і (3.2) слід додати ще рівняння

(3.3)

визначаюче зв'язок у поздовжній площині між швидкісною і зв'язаною системами координат.

Рівняння (3.1)-(3.3), у загальному випадку є нелінійними й нестаціонарними. Однак їх можна вважати лінійними з урахуванням гіпотези малості відхилень параметрів від їхніх значень для деякого теоретичного не обуреного руху (ці значення можуть бути знайдені шляхом чисельного інтегрування рівнянь руху літака).

Тоді, розділивши рівняння (3.1) на , а рівняння (3.2) на і враховуючи, що , одержимо:

(3.4)

У системі рівнянь (3.4) індекс збільшення перед змінними опущений.

Тут - динамічні коефіцієнти, що характеризують основні динамічні властивості ЛА, відповідно демпфірування (регулювання), статичну стійкість, ефективність органів керування і т.д.

Динамічні коефіцієнти є відомими функціями часу, тому що вони залежать від параметрів, що відповідають деякої необуреної траєкторії.

Аналіз поздовжнього кутового обуреного руху ЛА показує, що воно є короткопериодическим. При цьому за час перехідного процесу, що триває звичайно частки секунди або кілька секунд, змінні коефіцієнти рівнянь (3.1) і (3.2) не встигають помітно змінитися. Тому можливо застосування методу «заморожування» коефіцієнтів.

(3.4’)

Застосуємо до системи (3.4) перетворення Лапласа при нульових початкових умовах:

Таким чином, рівняння (3.4’) дозволяють знайти передатні функції , що визначають основні динамічні й статичні властивості ЛА по керуючому (керованість), що й обурює (стійкість) впливам.

Ми будемо шукати передатні функції які визначаються через вхідний вплив на систему d, тому інші впливи й треба дорівняти до 0. Тому що << (площа рулей висоти в багато менше, чим площа крил і значить піднімальна сила крил у багато разів більше, чим у рулей висоти), те коефіцієнтом можна зневажити, тобто . У результаті одержимо наступну систему рівнянь:

Помножимо третє рівняння системи на :

.

(3.4’’)

Поєднуючи друге й третє рівняння, одержимо:

Підставимо останній вираз в перше рівняння системи (3.4’):

Таким чином, знайдена передатна функція, що відбиває вплив керуючого впливу на кут тангажа .

Перетворимо отриманий вираз:

Пояснимо введені позначення коефіцієнтів: - коефіцієнт передачі що характеризує його маневреність,

.

Зі збільшенням висоти польоту коефіцієнт зменшується. Маневреність ЛА погіршується також зі збільшенням ступеня статичної стійкості. , - постійні часу відповідно інерційні властивості, що визначають, ЛА при створенні нормального перевантаження й власну частоту коливань літака,

, с;

,с.

Постійна часу визначається головним чином конструктивними розмірами ЛА, а також ступенем статичної стійкості, швидкості й висотою польоту. x - коефіцієнт відносного демпфірування короткопериодической складової обуреного руху літака,

.

Відомо, що оптимальним значенням коефіцієнта x для коливального процесу є x=0,7. Однак конструктивні можливості збільшення градієнта обмежені. Крім того, коефіцієнт x зменшується зі збільшенням висоти й числа де - швидкість звуку. Це привело б до різкого збільшення колебательности перехідних процесів.

Локальний регулятор ЛР призначений для поліпшення пілотажних характеристик літака. Необхідне значення коефіцієнта загасання x системи літак-демпфер забезпечується відповідним вибором параметра настроювання системи-коефіцієнта передачі ДУСа.

Проведемо аналогічні виводи для одержання передатних функцій і .

Для одержання із другого й третього рівнянь системи (3.4``):

Скористаємося цим рівнянням для перетворення першого рівняння системи (3.4``):

У такий спосіб:

Приведемо це вираження до описаних вище коефіцієнтів.

Для виводу скористаємося отриманим раніше рівнянням

і підставимо його в перше рівняння системи:

Перетворимо вираження:

Структурну схему замкненої системи керування представимо в наступним виді.

Рис. 3.2. Структурна схема замкненої системи керування.

де .

Нехай лінійна стаціонарна система описується звичайними лінійними диференціальними рівняннями n–го порядку з постійними коефіцієнтами:

,

(3.5)

де t– безперервний час;

t₀ – початковий час;

– керуючий вплив;

y(t) – вихідний сигнал.

При виставі рівняння (3.5) у змінних входи-виходи, уводиться в розгляд оператори зв'язки між вхідними й вихідними сигналами - передатні функції:

.

(3.6)

Вистава систем у змінних входи-виходи має в основному технічні переваги: дослідник має справу з фізичними змінними не тільки в кінцевому результаті, але й на проміжних етапах, і найчастіше має можливість супроводжувати теоретичне дослідження експериментом. Але при такій виставі математичні описи різних систем і блоків навіть у лінійному випадку виходять різнотипними залежно від порядків чисельників і знаменників їх передатних функцій.

Більш однакове й зручне за формою математичний опис динамічних систем за допомогою диференціальних рівнянь можна одержати, якщо ввести замість деяких (або всіх) вихідних змінних інші змінн , що одержали назва змінних стану. Опис системи в ці змінні дається системою диференціальних рівнянь першого порядку, дозволених щодо перших похідних, тобто рівнянь у формі Коші:

та ,

(3.7)

де – вектор станів об'єкта керування;

компоненти вектора змінні стани;

– матриця, розмірності з елементами:

,

(3.8)

– вектор–стовпець, розмірності (n×1) з елементами:

.

Ця форма має ряд переваг з погляду аналітичних досліджень: вона дозволяє полегшити й уніфікувати доказу ряду теорем, одержати однотипні алгоритми для досліджень і обчислень динамічних показників у системах різних порядків і т.д.

Рівняння (3.5) і (3.7) повинні бути еквівалентними в тому розумінні, що, знаючи розв'язок одного з них, можна однозначно одержати розв'язок іншого. Для цього змінні й повинні бути, насамперед, зв'язані однозначною функціональною залежністю:

.

(3.9)

Повинні також виконуватися умови існування розв'язків, а для більшості практичних завдань також умови їх одиничності. Число змінних стану х_i(t) повинне рівнятися порядку п рівняння (3.6) (у лінійному випадку — порядку знаменника передатної функції (3.7). Умови існування й одиничності розв'язків виконуються, якщо u(t) – кусочно-безперервні функції, а функції задовольняють умовам Коші — Липшица.

Перехід від рівнянь у змінних входи-виходи до рівнянь у змінних стани неоднозначний: виконуючи різні перетворення, для однієї й тієї ж системи можна одержувати різні значення матриць відповідні до різних базисів векторного простору станів.

Рівняння в змінних стани мають та перевага, що вони являють собою сукупність простих однакових за формою рівнянь першого порядку, що допускають одержання в достатній мері однакових методів математичного аналізу й синтезу систем, а також однакових алгоритмів для чисельних методів розв'язку цих завдань на ЕОМ. Рівняннями в змінних стани часто воліють користуватися для доказу теорем, одержання аналітичних виводів і побудови програм для ЕОМ способи, що найбільше часто зустрічаються, приведення до змінних стану.

Розглянемо нормальну форму, в основі якої лежить перетворення . Відповідно до даного перетворення інші елементи рівняння (3.7) мають вигляд:

.

(3.10)

Дозволивши останнє рівняння з (3.5) відносно й записавши рівняння (3.5) через змінні , можна одержати систему:

.Þ

(3.11)

Þ

Система диференціальних рівнянь (3.7) першого порядку являє собою математичну модель у просторі станів. Матричну форму системи (3.7) можна одержати, увівши в розгляд вектор змінних станів :

(3.12)

Увівши позначення:

можна переписати (3.8):

,

(3.13)

Система є матричною формою опису математичної моделі об'єкта в просторі станів.

Для нашого випадку перехід від математичної моделі виду виглядає в такий спосіб:

(3.14)

; ; ,

(3.15)

де