Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Решение некоторых уравнений и неравенств сведением их к решению си­стем уравнений или неравенств относи­тельно той же неизвестной

Читайте также:
  1. I группа: задачи на решение проблем в обучении
  2. Алгебраические преобразования систем линейных уравнений
  3. Алгоритм написания уравнений гидролиза
  4. Алфавит. Произношение звуков. Гласные. Двугласные. Согласные. Особенности произношения некоторых звуков.
  5. Анализ некоторых типов религиозного опыта
  6. Анализ современных подходов к профилактике употребления наркотиков, и решение основных проблем профилактики.
  7. Б) Найти частное решение линейного дифференциального уравнения
  8. Бытие, его основные формы. Проблема единства мира и ее решение в философии: плюрализм, дуализм, монизм.
  9. Вид частного решения y* неоднородного уравнения в некоторых конкретных случаях
  10. Внешний долг некоторых стран мира (млрд долл.)

4.1.11. Уравнения вида /?(х) + /| (х) + • • • + /* (х) = 0, 1/|(*)| + l/2(z)| + • • • +1/*(*)1 = 0. Уравнения вида

 

Пример 1. Решить уравнение

х4 + 5 • 4х + 4х22х - 2 • 2х + 1 Ь 0. (4)

Решение. Перепишем уравнение (4) в виде

2 + 2 • 2х)2 + (2х - I)2 = 0, (5)

откуда очевидно, что уравнение (5) равносильно системе урав­нений

/21_1=0

\** + 2-2* = 0.

Первое уравнение этой системы имеет единственное решение х = 0, которое не удовлетворяет второму уравнению системы (6). Следовательно, система (6) не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Пример 2. Решить уравнение

V^x2 - 6х + 9 + yJ\o&p(x2 - 4х 4* 4) = 0. (7)

Решение. Перепишем уравнение (7) в виде |х - 3| + | log1/7(x2 - 4х + 4)| ='0.

Это уравнение равносильно системе уравнений

Гх-3 = 0,

1 log1/7(x2 - 4х + 4) = 0.

Решение первого из этих уравнений есть г = 3. Проверка по­казывает, что это число также является и решением второго уравнения системы (8). Следовательно, х = 3 является реше­нием исходного уравнения (7).

Ответ: х = 3.

Отметим, что к системе (3) сводится и ряд других урав­нений. Приведем пример.

 

Пример 3. Решить уравнение

log2 (l 4- у/х4 4- х2) 4- log2(l 4- х2) = 0. (9)

Решение. Для любых х справедливы неравенства

log2 (l 4- у/х4 x2j > 0, log2(l 4-х2) > 0.

Поэтому уравнение (9) равносильно системе уравнений

Г log2 (l 4- у/х4 4-х2) = 0,

\ log2(l4-x2) = 0.

имеющей единственное решение х = 0.

Ответ: х = 0.

4.1.12. Неравенства вида /,2(х) 4- /|(х) 4- • • • 4- /2(х) > 0, l/i(*)l+l/2(*)l+’’'e+|/n(*)| > 0* Решениями неравенств вида

/?(*)+/?(*) + •••+/*(*)> о, 1/|(*)1 + 1Л(х)| + —+ |/„(*)|> о

являются все х из их ОДЗ, за исключением тех х, которые являются решениями системы уравнений

(Ю)

(П)

(12)

(13)

(log2 х - I)2 + (х - 2)г > 0.

все решения системы уравнении

{

log2x- 1 = О, а: - 2 = О.

Эта система имеет единственное решение х = 2, следователь­но, решениями неравенства (13) являются все х > 0, кроме х = 2.

Ответ: 0<х<2;2<х< +оо.

Пример 5. Решить неравенство

|Sin2!-sin4if >0' ^

Решение. ОДЗ неравенства (14) есть все х в JR. Перепи­шем неравенство (14) в виде

х2-^*2

sin2 х - sin4 х\ +

1+х2

Для любого х справедливы неравенства

х2-*2

| sin2 х - sin4 х| > 0,

1 + х2 1-

>0.

>0.

Поэтому неравенство (14) не выполняется лишь для таких х, что одновременно

х2 - и2

sin2 х - sin4 х = 0, — г- = О,

1 + х2

т.\е. для х = ж и х = —тт.

Следовательно, решениями исходного неравенства (14) яв­ляются все х, кроме х = 7г и х = -п.

Ответ: -оо < х < -тг; -я<х<тг;я-<х< +оо. Отметим, что к системе (12) сводятся иногда и другие не­равенства.

Пример 6. Решить неравенство

yi-cos< - I > а. (15)

Решение. ОДЗ неравенства (15) являются все х, удовле­творяющие условию 1 - х4 > 0, т. е. ОДЗ есть все х € (— 1:1]. На ОДЗ справедливы неравенства

Поэтому неравенство (15) выполняется для всех х из ОДЗ, кроме тех, которые удовлетворяют системе уравнений

Решениями второго уравнения этой системы являются Х\ = 1 и %2 = — 1. Из них первому уравнению удовлетворяет только х = — 1. Итак, решениями данного неравенства (15) являются все х из промежутка —1 < х < 1.

Ответ: -1 < х < 1.

4.1.13. Использование ограниченности функции. Ес­ли при решении уравнения

J(x) = д(х)

удается показать, что для всех х из некоторого множества М справедливы неравенства /(х) <.4 и д(х) > А, то на множе­стве М уравнение (16) равносильно системе уравнений

(17)

ПРИМЕР 7. Решить уравнение

(16)

Решение. Перепишем это уравнение d виде

(* + 5) + 4 = - 7С1 Г- (18)

И н

Очевидно, что для любых действительных х имеем

д(х) = (х + 0 + 4 > 4, /(*) = - —- < 4.

(*-5)+4

Следовательно, уравнение (18) равносильно системе уравне-

*0

НИИ

Эта система уравнений не имеет решений, поэтому исходное уравнение также не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Пример 8. Решить уравнение

cos2 (х sin х) = 1 + log2 \/х2 4- х + 1. (19)

Решение. ОДЗ уравнения (19) являются все действитель­ные числа х. Для любых х имеем

cos2(xsinx) < 1, 1 + log2 у/х2 + х + 1 > 1.

Следовательно, уравнение (19) равносильно системе уравне­ний

Г cos2(xsinx) = 1,

(20)

logs vx^ + x+T = 0.

Решения второго уравнения системы (20) есть х = 0их = —1. Из этих значений первому уравнению удовлетворяет только

•у-«р<м;-л..Ыл-Д

х = 0, которое, следовательно, является единственным реше­нием исходного уравнения.

Ответ: х = 0.

Пример 9. Решить уравнение

cos7x4-sin5x = 1. (21)

Решение. Поскольку cos2 х + sin2 х = 1, то уравнение (21) можно переписать в виде cos7 х + sin5 х = cos2 х + sin2 х, или в виде

cos2x(cos5x - 1) = sin2x(l - sin3x). (22)

Поскольку для любого действительного х имеем cos5 х — 1 < 0, cos2 х > 0, sin2 х > 0, 1 - sin3 х > 0, то уравнение (22) равно­сильно системе уравнений

cos2 x(cos5 х - 1) = 0,

sin2 х(1 - sin3 х) = 0. ^

Система (23) равносильна совокупности систем уравнений

{

{

СО8Х = 0,

sinx = l, |

sin х = 0,

(24)

COS X = 1.

Решения первой из этих систем есть х = ^ + 2тг к% к € Z, второй х = 2тгт, т € Z. Все эти решения и будут решениями исходного уравнения.

Ответ: х = 2я-т, х = - + 27гЛ:; т, А: € Z,

It

4.1.14. Использование свойств синуса и косинуса. Ре­шение большого количества тригонометрических уравнений может быть сведено к решению систем уравнений. Примера­ми таких уравнений могут служить следующие:

sin ах • sin/?x = ±1,

sinax • cos/?x = ±1,

Л (sin ax)m + £(cos 0x)n = ±(|Л| + |£|), w4(sinax)m + J9(sin/?x)n = ±(|Л| + |B|),

х = 0, которое, следовательно, является единственным реше­нием исходного уравнения.

Ответ: х = 0.

Пример 9. Решить уравнение

cos7x4-sin5x = 1. (21)

Решение. Поскольку cos2 х + sin2 х = 1, то уравнение (21) можно переписать в виде cos7 х + sin5 х = cos2 х + sin2 х, или в виде

cos2x(cos5x - 1) = sin2x(l - sin3x). (22)

Поскольку для любого действительного х имеем cos5 х — 1 < 0, cos2 х > 0, sin2 х > 0, 1 - sin3 х > 0, то уравнение (22) равно­сильно системе уравнений

cos2 x(cos5 х - 1) = 0,

sin2 х(1 - sin3 х) = 0. ^

Система (23) равносильна совокупности систем уравнений

{

{

СО8Х = 0,

sinx = l, |

sin х = 0,

(24)

COS X = 1.

Решения первой из этих систем есть х = ^ + 2тг к% к € Z, второй х = 2тгт, т € Z. Все эти решения и будут решениями исходного уравнения.

 

Ответ: х = 2я-т, х = - + 27гЛ:; т, А: € Z,

It

4.1.15. Использование свойств синуса и косинуса. Ре­шение большого количества тригонометрических уравнений может быть сведено к решению систем уравнений. Примера­ми таких уравнений могут служить следующие:

sin ах • sin/?x = ±1,

sinax • cos/?x = ±1,

Л (sin ax)m + £(cos 0x)n = ±(|Л| + |£|), w4(sinax)m + J9(sin/?x)n = ±(|Л| + |B|),

 

Первое уравнение системы (27) имеет решения

х = п/2 + 2nkt к € Z.

Все они удовлетворяют второму уравнению этой системы, т. е. являются решениями системы (27).

Первое уравнение системы (28) имеет решения

Х = —£ + 2*/, /е г.

Ни одно из этих чисел не удовлетворяет второму уравнению этой системы. Поэтому система (28)- не имеет решений.

Итак, решения исходного уравнения (26) совпадают с ре­шениями системы (27).

Ответ: х = п/2 + 2**, к е Z.

Пример 11. Решить уравнение

I

3 cos4 - 2 sin5 х = 5. (29)

Решение. Если хо есть решение уравнения (29), то

| cos 2хо| = 1, ибо в противном случае было бы справедливо не­равенство | sin хо| > 1, что невозможно. Но если |cos2xo| = 1. то из уравнения (29) следует, что sin xq = -1. Поэтому любое решение уравнения (29) является решением системы уравне­ний:

{

sinx = —1,

lco. 2, 1 - 1. «“>

Легко видеть, что любое решение системы (30) есть реше­

ние уравнения (29). Следовательно, уравнение (29) равносиль­но системе уравнений (30).

Первое уравнение системы (30) имеет решения

х=-|+2 nl, LeZ.

 

Все они удовлетворяют второму уравнению системы (30), т. е. являются решениями уравнения (29).

Ответ: *«=-•!+ 2*7 ,1 е Z.

Пример 12. Решить уравнение

cos3 Зх 4- cos11 7х = -2. (31)

Решение. Если х0 — решение уравнения (31), то cos3x0 = —1 (в противном случае cos7xo < —1, что невозможно). Но

тогда cos7xo = — 1. Следовательно, любое решение уравнения

4.1.16. есть решение системы уравнений

/cos3l = "1- (32)

| cos = —1.

Легко видеть, что любое решение системы (32) есть решение уравнения (31). Поэтому уравнение (31) равносильно системе

4.1.17..

Первое уравнение системы (32) имеет решения *■ 2 хк, „

** = - + —, Ате г.

Найдем те из этих решений, которые будут удовлетворять второму уравнению системы (32). Это будут те х*, для ка­ждого из которых найдется число т € Z такое, что будет справедливо равенство

7п 14*7: _

у + -у- = ж + 2* т. (33)

Перепишем равенство (33) в виде

f Зт-2 /0^

к = —-—. (34)

Поскольку кит целые числа, то равенство (34) справедливо лишь тогда, когда m = 7t + 3, t 6 Z, но тогда к = 3t+1, t € Z. Итак, решениями системы (32) являются х*, где к = 34 + 1.

t € Z, т. е. х = ^ + 2*7 + t € Z.

Ответ: х = *• + 2тг*, te Z.

Все они удовлетворяют второму уравнению системы (30), т. е. являются решениями уравнения (29).

Ответ: *«=-•!+ 2*7 ,1 е Z.

Пример 12. Решить уравнение

cos3 Зх 4- cos11 7х = -2. (31)

Решение. Если х0 — решение уравнения (31), то cos3x0 = —1 (в противном случае cos7xo < —1, что невозможно). Но

тогда cos7xo = — 1. Следовательно, любое решение уравнения

4.1.18. есть решение системы уравнений

/cos3l = "1- (32)

| cos = —1.

Легко видеть, что любое решение системы (32) есть решение уравнения (31). Поэтому уравнение (31) равносильно системе

4.1.19..

Первое уравнение системы (32) имеет решения *■ 2 хк, „

** = - + —, Ате г.

Найдем те из этих решений, которые будут удовлетворять второму уравнению системы (32). Это будут те х*, для ка­ждого из которых найдется число т € Z такое, что будет справедливо равенство

7п 14*7: _

у + -у- = ж + 2* т. (33)

Перепишем равенство (33) в виде

f Зт-2 /0^

к = —-—. (34)

Поскольку кит целые числа, то равенство (34) справедливо лишь тогда, когда m = 7t + 3, t 6 Z, но тогда к = 3t+1, t € Z. Итак, решениями системы (32) являются х*, где к = 34 + 1.

t € Z, т. е. х = ^ + 2*7 + t € Z.

Ответ: х = *• + 2тг*, te Z.

an b справедливо неравенство

(a+ 6) > 4. (37)

(И)

В самом деле, применяя неравенство о среднем арифметиче­ском и среднем геометрическом сначала к числам 1 и 1/6, а затем к числам а и Ь, имеем 1 1

° Ь- > \1- • - и ^ > л/а5,

2 “Ye 6 2

откуда

Кв+й(1^)-1, т-е' G+9(e+6)-4-

Поскольку на ОДЗ уравнения (36) имеем sin8 х > 0, cos2 2х > О, то, применяя неравенство (37), получаем, что для любого такого х левая часть уравнения (36) не меньше 4. В то же

2

время на ОДЗ уравнения (36) 4 cos2 у —— х2 < 4. Следова­тельно, уравнение (36) равносильно системе уравнений

[) (sin8 х + cos2 2х) = 4,

\sin х cos2 2х/ (3g)

VT-r, = 1-

Из последнего уравнения системы (38) находим его решения xi = л/2 и Х2 = -л/2. Подставляя эти значения в первое уравнение системы (38), получаем, что они являются его ре­шениями. Следовательно, Xi = л/2 и Х2 = —л/2 являются решениями исходного уравнения (36).

Отпет: х\ = л/2, Х2 = -л/2.




Дата добавления: 2015-02-22; просмотров: 29 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.021 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав