Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Применение производной.

В предыдущих параграфах были рассмотрены применения некоторых свойств функций, входящих в уравнение, напри­мер, свойства монотонности, ограниченности, существования

cos²

наибольшего и наименьшего значений и т.д. Иногда вопрос о мопотопности, об ограниченности и в особенности о нахо­ждении наибольшего и наименьшего значений функций эле­ментарными методами требует трудоемких и тонких иссле­дований, однако он существенно упрощается при применении производной. В этом параграфе будет показано применение производной при решении уравнений и неравенств.

4.1.20. Использование монотонности функции.

В дальнейшем будем пользоваться следующими утверждения­ми.

(15) Если функция }(х) имеет положительную производную на промежутке X ((о; 6), (а;+оо), (-оо;а), (-сед+'оо)), то эта функция возрастает на этом промежутке.

(16) Если функция /(х) непрерывна на промежутке X ([а; 6], [а; Ь), (а; 6], [а; -foo), (—оо;а]), и имеет внутри промежутка по­ложительную (отрицательную) производную, то эта функция возрастает (убывает) на промежутке X.

(17) Если функция f(x) имеет на интервале (а; Ь) тождествен­но равную нулю производную, то эта функция }(х) есть по­стоянная на этом интервале.

Пример 1. Решить уравнение

I⁵ + х³ - vfl - Зх + 4 = 0. (1)

Решение. Рассмотрим функцию

/(х) = х⁵ + х³ - у/1 - Зх + 4.

Область определения этой функции есть промежуток X = = ^—оо; - j. На этом промежутке /(х) непрерывна, внутри его имеет производную

f*(x) = 5х⁴ + Зх² Н-

2у/1 — Зх v

Эта производная положительна внутри промежутка X. Поэто­му функция /(») возрастает на промежутке X. Следовательно,

наибольшего и наименьшего значений и т.д. Иногда вопрос о мопотопности, об ограниченности и в особенности о нахо­ждении наибольшего и наименьшего значений функций эле­ментарными методами требует трудоемких и тонких иссле­дований, однако он существенно упрощается при применении производной. В этом параграфе будет показано применение производной при решении уравнений и неравенств.

4.1.21. Использование монотонности функции.

В дальнейшем будем пользоваться следующими утверждения­ми.

(18) Если функция }(х) имеет положительную производную на промежутке X ((о; 6), (а;+оо), (-оо;а), (-сед+'оо)), то эта функция возрастает на этом промежутке.

(19) Если функция /(х) непрерывна на промежутке X ([а; 6], [а; Ь), (а; 6], [а; -foo), (—оо;а]), и имеет внутри промежутка по­ложительную (отрицательную) производную, то эта функция возрастает (убывает) на промежутке X.

(20) Если функция f(x) имеет на интервале (а; Ь) тождествен­но равную нулю производную, то эта функция }(х) есть по­стоянная на этом интервале.

Пример 1. Решить уравнение

I⁵ + х³ - vfl - Зх + 4 = 0. (1)

Решение. Рассмотрим функцию

/(х) = х⁵ + х³ - у/1 - Зх + 4.

Область определения этой функции есть промежуток X = = ^—оо; - j. На этом промежутке /(х) непрерывна, внутри его имеет производную

f*(x) = 5х⁴ + Зх² Н-

2у/1 — Зх v

Эта производная положительна внутри промежутка X. Поэто­му функция /(») возрастает на промежутке X. Следовательно,

промежутке -оо < х < 0. Поскольку /(0) = 0, то f(x) > 0 для любого х € (—оо;0). Следовательно, любое х 6 (—оо;0) явля­ется решением неравенства (3). Поскольку /(0) = 0, то х = 0 не есть решение неравенства (3).

Таким образом, все решения неравенства (3) составляют два промежутка (0; +оо) и (-оо; 0).

Ответ: 0 < х < +оо; -оо < х < 0.

4.1.22. Использование наибольшего и наименьшего значении функции. Справедливы следующие утверждения.

(21) Наибольшее (наименьшее) значение непрерывной функции, принимаемое ею на интервале Х( (а; Ь) (-оо; +оо),

(о; + оо), (—оо; а)), может достигаться в тех точках интервала Ху в которых ее производная равна нулю или не существует (каждая такая точка называется критической точкой).

(22) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения не­прерывной на отрезке [а; 6] функции, имеющей на интерва­ле (а; Ь) конечное число критических точек, достаточно вы­числить значения функции во всех критических точках, при­надлежащих интервалу (о; 6), а также в концах отрезка и из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

(23) Если в критической точке хо функция непрерывна, а ее производная, проходя через эту точку, меняет знак с минуса на плюс, то точка хо — точка минимума, а если ее производ­ная меняет знак с плюса на минус, то хо — точка максимума.

Пример 4. Решить уравнение

х² + 2х + 3 = (х² + х + 1)(х⁴ + х² + 4). (4)

Решение. ОДЗ уравнения (4) есть промежуток X = = (-оо; +оо). Так как х²+х+1 > 0 для любого х, то уравнение (4) можно переписать в виде

х + 2

= х⁴ + х² + 3. (5)

или в виде

Наименьшее значение функции /(х) = х⁴-Рх²+3 на промежут­ке (-оо; -foo) есть 3. Найдем наибольшее значение на проме-

х + 2

жутке (-оо; -foo) функции р(х) = -= Так как на про-

х^£ + х 4- 1

межутке (—оо;—2) функция р(х) отрицательна, а на проме­жутке (—2; -foo) положительна, то наибольшее-значение функ­ция д(х) может принимать лишь на промежутке (—2; -foo).

Эта функция на промежутке (—оо; -foo) имеет производ­ную

,. х² + х + 1 - (х + 2)(2х + 1) _ х² + 4х -f 1 ^9(х)~ (х*+х+1)^а ~ (*^а + х + 1)²’

которая обращается в нуль в точках xi = —2 + \/3 и ха = — 2 — —%/5. Поскольку на промежутке (—2+ л/3; -foo) имеем д'(х) < О, а на промежутке (-2;-2 + \/3) имеем д'(х) > 0, то в ату непрерывности функции д(х) заключаем, что она на проме­жутке [-2 + >/3; -foo) убывает, а на промежутке [-2; -2 -f %/3] возрастает. Следовательно, в точке хг = -2+ >/3 функция $(х)

,, 2>/3 + 3 _

принимает наибольшее значение, причем д\х 2) =. ио-

2\/3 + 3 ^

скольку < 3, то для любого х справедливы неравен­

ства

/(*) > 3 > > д(х),

из которые следует, что уравнение (5) решений не имеет.

Следовательно, не имеет решений и равносильное ему уравнение (4).

Ответ: решений нет,

Пример 5. Решить уравнение

X² + X + 1

Решении. ОДЗ уравнения (6) есть промежуток 2 < х < 4. Рассмотрим непрерывную функцию /(х) = \/х - 2 + у\-х на отрезке [2; 4). Функция /(х) на интервале (2; 4) имеет про­изводную

/'(*) = i(*-2)-V«-1(4-*)-*/«,

обращаю щуюся в нуль только при х = 3. Так как функция /(х) непрерывна на отрезке (2; 4], то ее наибольшее и наимень­шее значения находятся среди чисел /(3), /(2) и /(4). Так как /(3) = 2, /(2) = /(4) = \/2 < 2, то наибольшее значение /(х) есть /(3) = 2. Следовательно, уравнение (6) имеет единствен­ный корень х = 3.

Ответ: х = 3.

Пример 6. Решить неравенство

<*>

Решение. ОДЗ неравенства (7) есть промежуток I = = {0; -foo). Рассмотрим непрерывную функцию /(х) = \/х^(1— —х) на промежутке (0; -foo). Эта функция имеет внутри про­межутка (0; -foo) производную

/'<*) = 1*^(1 - *> - **/* =,«/* 0(1 - X) - *).

Эта производная внутри промежутка I обращается в нуль только в точке хо = -. Поскольку для любой точки х, находя-

щсйся слева от точки хо = г, имеем, что /'(х) > 0, а для любой

о

точки справа от х<> имеем f'(x) < 0, то в силу непрерывности функции, /(х) на отрезке [0; 3/5) возрастает, на промежут-

ке [3/5; -foo) убывает и точка х<> = - есть точка максимума

О

функции /(х). Это означает, что для любого х из I, кроме хо,

справедливо неравенство /(х) < /(3/5), /(3/5) = -^/27/125.

о

Следовательно, решениями исходного неравенства (7) являют-

ся все х из двух промежутков

Ответ: 0 < х < 3/5; 3/5 < х < +оо. Пример 7. Решить неравенство

х²

1п(1 + х) > х ——.

£

Решение. ОДЗ неравенства (8) есть промежуток X = = (—1;+оо). Рассмотрим функцию

/(z) = ln(l + z)-*+у.

Эта функция на промежутке (—1;+оо) имеет производную

которая обращается в нуль в точке Хо = 0.

Рассмотрим функцию /(х) сначала на промежутке Х\ — (—1; 0]. Так как /(х) непрерывна на промежутке Х\ и для лю­бой точки х внутри промежутка Х\ имеем f'(x) > 0, то /(х) возрастает на Х\. Поскольку /(0) = 0, то /(х) < 0 для любого х внутри Х\, т.е. ни одно х из промежутка Х\ не есть решение неравенства (8).

На промежутке 1г = [0; +оо) функция /(х) непрерывна, для любой точки х внутри промежутка имеем /'(х) > 0, поэтому /(х) возрастает на Хь- Поскольку /(0) = 0, то /(х) > 0 для любого х внутри 2а, т. е. любое х из промежутка 0 < х < +оо есть решение неравенства (8).

Ответ: 0 < х < +оо.

4.1.23. Применение теоремы Лагранжа.

ТЕОРЕМА (Лагранжа). Если функция /(х) непрерывна на отрезке [а; 6] и имеет производную на интервале (о; Ь), то найдется такая точка с интервала (а; 6), что

(8)

•Г

3. 2^Z+² — 7х = 17. (9)

Пример 8. Решить уравнение

Решение. Заметим, что х = — 2 и х = 1 являются корня­ми уравнения (9). Докажем, что других корней уравнение (9) не имеет. Предположим, что уравнение (9) имеет три корня xi < Х2 < хз. Рассмотрим функцию f(x) = 3 • 2^Z+2 — 7х - 17. Данная функция непрерывна на всей прямой и имеет всюду производную. По теореме Лагранжа имеем

/(*2) - /(х0 = /'(ci)(x₂ - xi) = 0, хх < ci < х>,

/(*з) - /(х₂) = /'Ы(хз - Х₂) = 0, Хо < с₂ < х₃.

Следовательно, существуют хотя бы две точки сх и с₂, в кото­рых производная функции /(х) равна нулю. Однако функция /'(х) = 3-2^z+2 In 2 —7 имеет только один корень. Этим доказа­но, что данное уравнение (9) имеет только два корня: х = -2 и х = 1.

Ответ: х\ = -2, х₂ = 1.

}

)

Задачи

Доказать что следующее уравнение не имеет решений

4.1.24. у/Г=^ + у/х — 1 = 1.

4.1.25. у/2 - х = log₅(x - 2).

4.1.26. |х - 2| + |х² - 3| = 0.

4.1.27. |х⁴ + 1| + |х² + 4х - 5| = 1.

4.1.28. у/2х 4* 5 + v^x + 2 = 0. в. >/4 — х — v^x — 7 = 2.

4.1.29. tfx=4 - V-1-X = 0.

4.1.30. ^х 4- у/х + 5 = 2.

4.1.31. «*/х 4* - = ^^х — 1.

V х

4.1.32. 2^Z’⁺¹ = 1 - х⁸.

4.1.33. ^F+3 = 2.

4.1.34. sin х = х² + х + 1.

4.1.35. log₃x=l + ^L

4.1.36. у/х = —х² 4- 8х — 15.

4.1.37. \/l0T3Vx^r^⁼T + x⁴v^/5^ = 3.

4.1.38. у/Ъ - х 4- у/х - 4 = (х - 1)²(х - 8).

4.1.39. (х² 4- х 4- 1)(х² 4- 2х 4* 3) = 1.

4.1.40. log₅(x 4-1) 4- 2 logs(х - 1) = logs(l - х²) 4-1.

4.1.41. 21og₃(4 4- х²) = log₂(l - (х 4- З)²).

4.1.42. log₄ ^х⁴ 4* 1 4- jnfTf) ^{= l0&1}^² “ ^^{Х + 5}^‘

4.1.43. sin⁴ х - sin² Зх 4- sin х = 3.

4.1.44. (sin х 4- \/3 cosх) sin 4х = 2.

4.1.45. x³(log₂ х - 2*) 4- log₂ x(2^x - x> 4* 8^x(x - Iog₂ x) = 0.

4.1.46. y/x² - x - 2 = log₂(l - x⁴).

4.1.47. (x² 4- 2x 4- 2)(x² - x 4-1> = 1.

4.1.48. v/9^F - log₃(|x| - 3) = 0.

4.1.49. cos(sinx) = 1/2.

4.1.50. sin² x + sin² %/2x + (1 + x)² = 0.

(24) (x + 8)(4 - x)(v^g + 2) = 1.

30. tfT^x + y/x ^2 = (x - l)²(x - 6).

Решить уравнение

31. COSX = 1 + X⁸.

32. x2^r = 8.

33. log* сое² x = x⁴.

34. = |cost|.

36. log₆(x +1) = x.

30. log₂ x = 3 — x.

37. (i)’—+4.

38. log_1/3 x = x - 4.

39. 12* + 5^X = 13^z.

40. 3^х + 4^X = 7.

41. X^х = 27.

42. - 4- 2s/x = 3x(l - lnx). x

43. ^7^5=(* - 3)³+6.

44. 1о(5з(1 + x³) = 2x² - 3x.

45. sin -^= = x¹ - 2>/3x + 4.

2n/3

46. 3* - 1 - |3* - 1| = 21о_& |6 - x|.

4.1.51. V^T7-f VTT^rx = 6.

4.1.52. |x - 1| + |x - 3| = 2 - ^x -.

49 ^x — ^ I

x⁴ + 25 10⁺ ^

50. 4 sin 7ГХ = 4x² - 4x + 5.

И. 2-1*1 = J^(|x + l| + |x-l|).

(25) xyj-x¹ + x = >/x — x² sin ^тг ^ ~ 3 ~ ^

(26) sin⁴ x - cos⁴ x = -1 — x⁴.

(27) sin³ x - sin^e x = 7 • (1 + sin¹⁰ x).

(28) sin⁵ x + cos⁵ x = 1.

(29) sinx cos 4x = 1.

(30) 2 cos¹¹ 4x - sin¹³ 9x = 3.

(31) (cos4x - cos2x)² = sin 3x + 5.

(32) cos² 9x + 7 cos² x = cos 3x cos⁴ x.

(33) xlog₂(x + 1) = log,_/3 x + 7.

(34) (3 - 2y/2)^x + (3 + 2y/2)^x = 6*.

(35) sin² 4x + cos² x = 2 sin 4x cos⁴ x.

(36) log^ x 4- (x - 1) log₂ x = 6 - 2x.

(37) ^x^2 + y/xTT = 3.

(38) y/x + y/2 - x + Vx² — 3x = \/2.

■"■(•(Hr))-

4.1.53. 2 cos² —-— = log₅(5 + x) +

logs (5 + z)

9ir²

4.1.54. 4|z| + -т-p - | sin *| = 12тг - 1.

1*1

⁶⁸‘ ^log3v^wf - 2i - 2) = log_2+(/5(z² - 2z - 3).

(39) 2-l*-^Jl log₂(4z - x²’- 2) = 1.

(40) (4z — x² - 3) Iog₂(l + cos² jtz) = 1.

Доказать что следующее неравенство не имеет решений

(41) у/х^е + х* + 1 < -1.

(42) v/x + 2 - у/Г+4 > 2. '

(43) > 0.

(44) |z² — х^л + 5sinz| < —1.

(45) |z — 1| + |2z + 3| < 0.

(46) y/T^x + y/7=\ < 1.

(47) |z²-1| + |z²-4z + 7|<1.

(48) Vz²+z+l + . „ ¹ < 2.

yjx² + x + 1

(49) y/x + 1 + yj y/x +1 4* 3 < y/2>/x + 1 + 2.

(50) -т —I > 1 + yjx¹ - 2x + 3.

x² - 2x + 3

O-I ox²—4x-f 9 ^ ^

⁸¹"² 1 + |x — 3|’

82. yfx + v^x + 5 < 2,2.

4.1.55. У2х² — 4х + 3 + У х² — 4х + 5 < 3/2.

4.1.56. (х²+х + 4)(х² + 2х + 5)<1.

4.1.57. 2 log](4 + х³) < log₂(l — (х + 5)²).

4.1.58. 1о&,(2 + tfx) + log₂(1 + х² + г⁴) < 0.

4.1.59. 2^ + 3^ + 4¹⁺^ < 5.

4.1.60. у/4^ + у/х^З <(х- 1)⁴(х - 5).

4.1.61. у/х + 3 + У9-х < у/3.

4.1.62. у/4 + х + У16-Х < 2.

4.1.63. у/х + у/3 - х + у/х¹ — 5х > у/3.

4.1.64. \у/2\х\ - l| log₂(2 - 2х^г) > 1.

4.1.65. з-!*-*1 log₂(4z - х² - 2) > 1.

4.1.66. 2^+ 3'/* + 4'/*+°.¹ < з.

Решить неравенство

4.1.67. х • 4^х > 4.

4.1.68. 5^х + 2^х > 7.

4.1.69. Ух^2 + 'УТ^х > Уз.

4.1.70. Ух=\ + Ух+ 14 > 3.

4.1.71. у/2-x-xⁱ < 2¹ + 1.

4.1.72. 1п(1 - х²) < х + 1/4.

4.1.73. cos х >1 —^г.

“ X²

4.1.74. In(1 + x) - x + > 0.

m

4.1.75. + x - 3 > y/2(x - 3)² + 2z - 2.

4.1.76. e* - 1 - ln(l+ x) > 0.

4.1.77. vTT^-l-! + ^- >0.

2 8

4.1.78. log₂ x < 3 - x.

4.1.79. xlog₃x < 18.

4.1.80. 2^ + 3^⁺¹ + 4^+² > 20.

4.1.81. (ar + 5)(3 - z)(s/F^4 + 2) < 0.

4.1.82. v'3^7 + v/x^l > (x - l)⁴(x - 7).

из. > ¹⁰

2x +1*

2 + log₃ x ^ G

¹¹⁴' x-1 ^< 2x- 1

115. $/x- Vx^\< 1.