Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Разложение функций в степенные ряды

Рассмотрим некоторые частные случаи разложения функции f (x) в степенной ряд. Например, степенной ряд

1 + x + x ² + ¼ + xⁿ +¼

является геометрическим рядом со знаменателем x и, согласно доказанному в примере 3, сходится при | x | < 1; его сумма равна , т.е. = 1 + x + x ² + ¼ + xⁿ +¼, (14)

Равенство (14) можно рассматривать как разложение функции в степенной ряд.

В качестве другого примера рассмотрим разложение в ряд функции . Заменяя в равенстве (14) x на - z, получим

= 1 - z + z ² - ¼ + (-1) ⁿ zⁿ +¼ (15)

при 0 £ | z | < 1. Проинтегрируем равенство (15):

Тогда

или

(16)

при | x | < 1.

При x = 1 разложение (16) принимает вид

(17)

но ряд (17) сходится, значит разложение (16) справедливо для всех x £ 1.

Аналогично, можно записать разложение в степенной ряд функции . Положим в (14) x = - z ², тогда

= 1 - z ² + z ⁴ - ¼ + (-1) ⁿ z ^{2 n} +¼ (18)

Проинтегрировав левую и правую часть (18), получим

,

или =

= (19)

при | x | < 1.

Это разложение верно и при x = 1, т.к. ряд (19) при x = 1 сходится. Известно, что , но

=

т.е. можно вычислить значение числа p с любой степенью точности.

Полученные разложения функций и являются частными случаями. В общем виде разложение функций в степенной ряд решено Маклореном и Тейлором.