|
Читайте также: |
Доподлинно известно, что Евклид родился и жил в Александрии во второй половине IV до н.э. Известно так же, что, хотя он и не был непосредственным учеником Платона, образование он получил именно в Платоновской Академии в Афинах. И это почти единственная информация, которой мы обладаем о личной жизни Евклида. В математике Евклид известен, прежде всего, как автор «Начал». Главного труда его жизни, представляющего собою систему дедуктивных умозаключений, где он излагает основные свойства пространства и пространственных фигур.
Принято полагать, что этой работой не исчерпывается его вклад в развитие геометрии пространства. Одну из работ, не дошедших до наших времен, он посвятил коническим сечениям. О чем свидетельствует другой древнегреческий математик Аполлоний (262-190 гг. до н.э.), живший, как и Евклид в Александрии, продолживший его исследования параболы, эллипса и гиперболы и даже написавший одноименный труд — «Конические сечения». И, хотя произведения Евклида предназначались, прежде всего, для изучения физического пространства, структура этих произведений, его необычайное остроумие и безупречная ясность изложения, привели к тому, что дедуктивный подход стали применять не только к одной математике, но и ко всем естественным наукам.
Безупречная же ясность изложения «Начал» привела к тому, что в течение двух тысяч лет с момента своего появления, оно стало базовым руководящим пособием по геометрии, вытеснив из обихода все предшествующие и претендующие на эту же роль работы. А именно одноименные работы: Гиппократа Хиосского, Леонта и Февдиема. Само собой разумеется, что эта работа возникла, как говорится, ни на пустом месте. И что, создавая свои «Начала», Евклид использовал, обрабатывал и систематизировал работы вышеупомянутых своих предшественников.
Работа Евклидасостоит из тринадцати книг, некоторые из которых начинаются с определений.
В частности, первая книга начинается с определений точки, линии, границы линии, поверхности, плоскости... Давая определения геометрическим элементам и фигурам, Евклид использует тот же самый дедуктивный подход, которого придерживаются при построении в математике дедуктивных умозаключений. Подход, который предполагает движение от общего к частному, от простого к сложному. Так вначале Евклид дает определение точки, затем общее определение линии. После общего определения следует частное определение – определение прямой линии, которая, как нам известно, является частным случаем всех существующих линий. Затем Эвклид дает общее определение поверхности, после чего опять следует частное определение - определение плоской поверхности, которая является частным случаем для всех существующих в мире поверхностей...
Итак:
Первое определение. Точка есть то, что не имеет частей.
Что это значит? Это значит, что для Евклида точка – есть самый простейший из всех геометрических элементов. Своего рода атом для геометрии. Минимальная и неделимая порция, которая – в силу того, что она не делима – не имеет частей. То есть, не может быть делимой на части, и потому не имеет частей.
Можно так же сказать, что определение точки Евклида следует из другого определения. Из определения точки Героном – древнегреческим математиком и механиком, который жил несколько ранее и известен, в частности тем, что сформулировал золотое правило механики. В соответствии с этаким определением Герона, точка есть то, что не имеет величины. Каким же образом одно следует из другого, спросите вы?
А все достаточно просто. Понятно, что всякая часть по своим размерам должны быть меньше целого. Иными словами, размеры части всегда меньше размеров целого. А как нам быть в такой ситуации, если целое не имеет размеров? Можем ли мы говорить о наличии части? Можем ли мы говорить о наличии какого-то «меньше» при отсутствии размеров? Разумеется – нет. То, что не имеет размеров, не может иметь в себе меньшее по размерам (чем всегда и является часть относительно целого).
Понятно, что точка, которая не имеет величины – не может иметь предмета собственного приложения (никаких эквивалентов-аналогов) среди реалий нашей действительности. Среди эмпирически наблюдаемых нами фактов такого предмета просто не существует. И потому всегда говорят, что размеры точки не то чтобы равны нулю, но считаются настолько малыми, что ими можно всегда пренебречь. Для упрощения решения задач. Или, другими словами, для упрощения математических вычислений, которые необходимо осуществить для решения поставленной перед нами задачи.
Как известно, для определения силы взаимного притяжения между двумя достаточно массивными космическими объектами, находящимися на достаточно большом расстоянии, необходимо произвести математические расчеты. Те самые расчеты, которые осуществляются по известной всем формуле, являющейся математическим выражением закона Всемирного тяготения, и при осуществлении которых размерами этих объектов попросту пренебрегают. При осуществлении этих расчетов, массивные материальные объекты рассматривают в качестве (математических) точек. При этом, тот же самый массивный объект - в зависимости опять же от типа поставленной перед нами задачи - может рассматриваться не только как точка, но и как двухмерный круг. И как трехмерный шар.
Второе определение. Линия есть длина без ширины.
Что это значит? По аналогии с определением точки мы можем сказать, что линия - есть тот самый геометрический элемент, шириной и высотой которого мы можем пренебречь. То есть, в отличие от точки – геометрического элемента, всеми размерами которого мы можем полностью пренебречь, в данном рассматриваемом нами случае мы можем пренебречь только шириной и высотой. Но тогда возникает вопрос: почему мы пренебрегаем именно шириной и именно высотой. А не, скажем, длинной? Очевидно, мы это делаем потому, что ширина и высота такого геометрического элемента во много меньше длинны. Мы пренебрегаем размерами ширины и высоты в силу их малости по сравнению с размером длины. И потому можно сказать, что линия - есть тот самый геометрический элемент, ширина и высота которого пренебрежимо малы по сравнению с его длиной.
Например, в теоретической механике и сопромате ригеля и прогоны с поперечными сечениями двутавра или швеллера – элементы, используемые при возведении зданий из легких металлических конструкций - рассматриваются в качестве ограниченной линии, проходящей через центры тяжести таких поперечных сечений. Это делается опять-таки для удобства математических расчетов, осуществляемых с целью определения нагрузки и крутящего момента в конкретной точке рассматриваемого прогона. Или же для определения максимальной нагрузки и величины максимального крутящего момента в какой-то точке рассматриваемого прогона. Полученные величины очень важны, поскольку по ним определяется основные размеры сечения ригеля, и марка стали, из которой он должен быть изготовлен.
Третье определение. Границы линии суть точки.
С самого первого взгляда можно сказать, что этакое определение есть не более, чем дополнение к определению линии. И потому его даже не следует рассматривать в качестве отдельного, самостоятельного определения. Между тем - это одно из существенных определений, вне наличия которого геометрия Евклида просто бессмысленна. Почему, спросите вы? По той лишь простой причине, что этакое определение исключает возможность использования понятия «бесконечность». А вот это действительно непонятно, поскольку понятие «бесконечность» активно использовалось в философии древних греков. И во времена Евклида и даже несколько раньше, во времена Платона и Аристотеля. Оно используется Аристотелем и неоднократно встречается в его физике, в его метафизики, в его «о возникновении и уничтожении».
Отсутствие понятия «бесконечности» в рассуждениях Евклида, его неиспользование этого понятия – является, по всей вероятности, причиной того, почему Евклид не дает определения прямой в нашем сегодняшнем понимании. А именно - как бесконечной, ничем не ограниченной и потому не имеющей границ, линии. Линии, имеющей бесконечную (неограниченную) длину. Линии, имеющей неограниченную протяженность.
Это же объясняет причину того, почему Евклид не дает определений отрезка, поскольку отрезок мыслиться как противоположность бесконечности, а точнее сказать, как противоположность прямой – бесконечной линии. И почему Евклид не дает определения луча, поскольку луч предполагает наличие бесконечности и одновременно ее противоположности. Луч, как мы знаем, представляет собой прямую линию, бесконечную с одной стороны и ограниченную с другой.
Мало того, ни сам Евклид, ни его последователи не использовали понятие «бесконечность» при определении параллельных прямых. При определении прямых они используют понятие «неопределенность».
Четвертое определение. Прямая - это есть такая линия, которая одинаково (равно) расположена (по отношению) ко всем точкам на ней.И существует другой перевод, в соответствии с которым, прямая - есть линия, равномерно данная своими точками.
Принято полагать, что это одно из самых сложных определений Евклида, и что по степени своей сложности оно уступает, разве что только определению плоскости. Сложное в том самом смысле, что трудное для понимания. И, действительно, такое определение нисколько не приближает нас к пониманию того, что есть прямая линия.
Самое первое, что следует из этого определения – это то, что линия состоит из точек. Но что в таком случае означает, что она «одинаково расположена ко всем своим точкам»? Может быть то, что она «одинаково расположена во всех своих точках». В том смысле, что одинаково присутствует в каждой своей точке. Или, другими словами, что свойства ее одинаковы во всех ее точках. Но что это нам дает? И каким образом приближает нас к пониманию прямой линии?
И здесь нам на помощь приходят второе и третье определения. Если в определении линии пользоваться исключительно только вторым определением Евклида, то получается так, что линия и, таким образом, прямая линия как частный ее случай, состоит не из множества точек, а есть самостоятельный и независимый геометрический элемент.
Мало того, мы можем сказать, что это не прямая линия состоит из множества точек, а сама точка есть частный случай прямой. Тот самый частный случай прямой линии, когда длинной этой линии можно легко пренебречь в силу ее малости размеров. То есть, когда длина этой линии пренебрежимо мала. И если следовать этой логике, то получается, что не только точка есть частный случай прямой. Отсюда следует, так же и то, что точка и прямая есть частный случай плоскости (поверхности). И что плоскость – это есть основной геометрический элемент, а точка и линия есть только частности. Частные случаи плоскости.
Если же ко второму прибавить третье определение, то, исходя из этих двух определений, мы получаем следующее: прямая линия – не состоит из множества точек, а есть самостоятельный геометрический элемент, который включает в себя всего лишь две точки, выступающие в качестве его, элемента, границы. Пользуясь понятием «расстояние», мы можем сказать в таком случае, что прямая линия – по сути своей есть кратчайшее расстояние между двумя точками, ее ограничивающими. В отличие от кривой линии, которое по своей сути - не есть кратчайшее расстояние между таким вот точками.
Впрочем, здесь возникает разумный вопрос. А как же нам быть в таком случае с четвертым определением Евклида, согласно которому прямая есть линия, которая одинаково расположена ко всем на ней точкам? С тем самым определением, из которого вроде бы следует вывод о том, что прямая линия, будучи не самостоятельным, а составным геометрическим элементом, состоит из множества точек.
Этот вывод можно было бы избежать, если предположить, что прямая линия состоит из множества линий, равной длины, которые, как и всякие линии (в соответствии с третьим определением), ограничены точками. Из множества этаких линий-отрезков.
Такой подход в понимании прямой линии, на наш взгляд, особенно важен. Поскольку, с одной стороны, позволяет рассматривать линию в качестве самостоятельного геометрического элемента, а не как составного, то есть, состоящего из множества точек. И, таким образом, не противоречит второму Евклидову определению. А, с другой стороны, не исключает на этой линии наличия множества точек и, таким образом, не противоречит четвертому определению.
В таком случае можно вывести следующее определение прямой линии. Прямая линия - это линия, которая состоит из множества равных отрезков, ограниченных точками. Причем длина этой линии должна быть равна сумме всех расстояний между этими точками, которая должна совпадать с кратчайшим расстоянием между двумя ее крайними точками. Или, другими словами, должна быть равна общей сумме всех длин этих равных отрезков, ее образующих, которая, в свою очередь, должна соответствовать кратчайшему расстоянию между двумя ее крайними точками. В соответствии с этаким определением, длина кривой линии, представляющая собой сумму всех длин ее образующих отрезков, будет больше всегда расстояния между двумя ее крайними точками.
Здесь следует сразу сказать, что такое определение прямой линии могло иметь только во времена Евклида, поскольку в нашем теперешнем понимании прямая не может быть ограничена. С точки зрения современной геометрии, прямая всегда существует в качестве бесконечной, ничем не ограниченной и потому не имеющей границ, линии. Линии, имеющей бесконечную (неограниченную) длину. Линии, имеющей неограниченную протяженность.
Однако вернемся к тому самому изначальному выводу из определения прямой, согласно которому, прямая линия, будучи не самостоятельным, а лишь составным геометрическим элементом, состоит из множества точек. Как уже отмечалось, в этаком случае определение прямой должно означать ее одинаковое присутствие во всех своих точках. А о том, что это действительно так, говорит и второй вариант его перевода (четвертого определения), согласно которому, прямая - есть линия, равномерно данная своим точками. Очевидно, что «равномерно данная своим точкам» или же «равномерно данная во всех своих точках» - означает одно: «равно присутствующая во всех своих точках». Или, как было указано выше, «одинаковость ее свойств во всех ее точках».
А теперь, позвольте, задаться вопросом. Если в какой-то одной из своих точек она будет присутствовать как-то иначе, не так, как во всех остальных – означает ли это, что данная точка является точкой излома. И что эта прямая уже не прямая? Очень странный вопрос, не правда ли? Очевидно, что – да. Означает. Это значит, другими словами, что линия в точке излома обладает иными свойствами, чем в любой иной своей точке. И что точка излома имеет иные свойства, чем любая иная точка линии. И это, кстати сказать, должно быть понятно.
Иными словами, точка (линии) может быть в двух состояниях. В обычном. И в состоянии точки излома. И ни в каком ином более. Отличие между кривой и прямой заключается именно в том, что кривая линия состоит из точек двух типов. Прямая же линия состоит из одинаковых точек. И потому она равно присутствует в каждой из этаких точек. И потому она одинакова в каждой из этаких точек. В том самом смысле, что обладает одними и теми же свойствами в каждой из точек, ее составляющих.
Пятое определение. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
По аналогии с определением точки, а затем и с определением линии, мы можем сказать, что поверхность - есть тот самый геометрический элемент, высотой которого мы можем пренебречь. То есть, в отличие от точки, всеми размерами которой мы можем пренебречь, и в отличие от линии, шириной и высотой которой мы можем пренебречь, в данном рассматриваемом нами случае мы можем пренебречь только и высотой.
Мы это делаем потому, что высота такого геометрического элемента во много меньше длинны и ширины. Мы пренебрегаем размерами высоты в силу их малости по сравнению с размером ширины и длины. И потому можно сказать, что поверхность - есть тот самый геометрический элемент, высота которого пренебрежимо мала по сравнению с его шириной и длиной.
Из этого, в частности, следует, что поверхность в геометрии Евклида, подобно точке и линии, рассматривается в качестве отдельного геометрического элемента. Что точка, линия и поверхность – это те самые первоначальные элементы, из которых в дальнейшем «складываются» геометрические фигуры.
Шестое определение. Границы поверхности суть линии.
Седьмое определение. Плоскость – это такая поверхность, которая одинаково (равно) расположена к прямым на ней линиям. Как уже было указано выше, определение прямой уступает по своей сложности только лишь определению плоскости, которое, таким образом, является самым сложным из всех определений Евклида. Как и в случае с определением прямой, такое определение фактически не приближает нас к пониманию того, что есть плоскость.
По аналогии с определением прямой можно, правда, сказать, что плоскость - это такая поверхность, свойства которой являются одинаковыми во всех ее точках, то есть не изменяются по длине и ширине. Но этакое определение, равно как и предыдущее, фактически не приближает нас к пониманию того, что есть плоскость.
На этом определения геометрических элементов, выступающих в качестве основных для формирования геометрических фигур – заканчивается. Далее следуют определения геометрических элементов, которые для построения геометрических фигур являются не основными, но лишь вспомогательными. И лишь затем следует определения самих геометрических фигур, которые заканчиваются определением параллельных прямых. Двадцать третьим определением Евклида, которое нарушает выстроенный ранее логический ряд.
Итак, двадцать третье определение. Параллельные прямые - суть такие прямые, которые, находясь в одной плоскости, и будучи продолжены в неопределенность (в бесконечность), ни с той, ни с другой стороны между собой не встречаются.
Помимо изложения знаменитой теоремы Пифагора для прямоугольных треугольников и описания (свойств) треугольников и параллелограммов, первая книга «Начал» включает в себя целый ряд утверждений, называемых постулатами и аксиомами. Утверждений, с точки зрения Евклида, столь очевидных, что в справедливости их невозможно усомниться, и потому принимаемых без доказательств.
В отличие от более раннего Аристотеля, для которого постулат есть один из двух видов аксиом и справедлив только в конкретной области нашей мысли, принцип деления бездоказательных утверждений на постулаты и аксиомы в «Началах» Евклида – до конца остается невыясненным. Тем не менее, существует довольно распространенное мнение, что это отличие все-таки есть. И что для Евклида, аксиомы, в отличие от постулатов, дают нам общие правила вывода применимо ко всем величинам. Абсолютно, ко всем. Например, утверждение, что, если к равным прибавим равные, то получим равные. Понятно, что этакое утверждение всегда означает следующее: если к двум равным отрезкам величиною в пять сантиметров прибавим два равных отрезка величиною в два сантиметра, то получим два равных отрезка величиной семи сантиметров.
В отличие от аксиом, постулаты дают лишь базовые представления для дальнейших выводов, но не дают нам общие правила вывода.
Итак, постулаты:
1. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.
2. И чтобы каждую прямую можно было неопределённо продолжить.
3. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.
4. И чтобы все прямые углы были равны между собой.
5. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых углов, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых углов.
Пользуясь современной терминологией пятый постулат можно изложить в несколько измененном виде. А именно: если (на плоскости) при пересечении одной прямой с двумя другими прямыми сумма образовавшихся внутренних односторонних углов получается менее 180° (поскольку два прямых угла дают именно 180°), то эти прямые при достаточном продолжении пересекаются, и притом с той стороны, с которой эта сумма менее 180°.
Далее, аксиомы:
1. Равные порознь третьему равны между собой.
2. И если к равным прибавим равные, то получим равные.
3. И если от равных отнимем равные, то получим равные.
4. И если к неравным прибавим равные, то получим неравные.
5. И если удвоим равные, то получим равные.
6. И половины равных равны между собой.
7. И совмещающие равны.
8. И целое больше части.
9. И две прямые не могут заключить пространства.
Современная геометрия разбивает систему аксиом Евклида, содержащихся во всех тринадцати его книгах, на пять видов. Это – аксиомы сочетания, порядка, движения, непрерывности. Указанный выше, пятый постулат первой книги выделяется в отдельный пятый вид.
В современной интерпретации он называется аксиомой параллельности Евклида и выглядит следующим образом: на плоскости через точку, находящуюся вне прямой, можно провести только одну прямую, параллельную (не пересекающуюся с) данной прямой.
Данную аксиому можно сформулировать и в несколько ином виде: через точку А, находящейся вне прямой а, в плоскости, проходящей через А и а, можно провести лишь одну прямую, не пересекающую а.
Существует достаточно распространенное мнение, согласно которому IV, V, VI и IX аксиомы Евклиду не принадлежат, и потому не могли содержаться в первоначальном варианте. Они добавлены несколько позже последующими переписчиками и разного рода интерпретаторами евклидовых «Начал». Иногда IV и V постулаты относят к числу аксиом. В этом случае IV и V постулаты называют X и XI аксиомами.
Несмотря на то, что попытки систематизации евклидовой аксиоматики - расположение аксиом и постулатов в определенной последовательности - предпринимались и ранее (Пашем, Шуром, Пеано, Веронезе), наиболее успешной, а потому и классической считается систематизация, произведенная в 1899 году Дэйвидом Гильбертом. Именно в рамках его, Гильберта, систематизации указанное ранее утверждение является пятым постулатом. Кроме Гильбертовой систематизации, на сегодняшний день существуют и другие системы аксиом евклидовой геометрии, например: А. В. Погорелова, А. Д. Александрова, А. Н. Колмогорова...
На протяжении двух с лишним тысячелетий постулат о параллельных прямых привлекает внимание разного рода математиков, не перестающих удивляться тому, зачем он был добавлен Евклидом к первым четырем. Все дело в том, что в рамках особой, математической традиции, заложенной еще древними греками, аксиома – это такое столь очевидное положение, в достоверность которого невозможно никак усомниться и потому не требующее никаких доказательств. Так вот в достоверность V постулата усомниться как раз можно. И потому требует подтверждения. То есть, требует доказательства. И в этом смысле он действительно отличается от всех остальных четырех постулатов и девяти аксиом, в достоверности которых усомниться никак невозможно.
Но вот, что оно удивительно, мы можем выстроить доказательство (не только доказательство этого положения, но и вообще любое другое доказательство), исходя именно только из этаких постулатов и аксиом. Поскольку они-то и составляют то самое ключевое начало, исходя из которого (непосредственно или опосредованно), мы выстраиваем доказательство, и благодаря которому возможно любое математическое доказательство. То есть, являются теми самыми предельно общими посылками, на основании которых выстраивается в форме дедуктивного умозаключения (или в форме дедуктивных умозаключений) любое математическое доказательство.
Таким образом, если бы нам удалось доказать, что V постулат Евклида представляет собой теорему, которая выводится из аксиом, входящих в число девяти аксиом и четырех остальных постулатов, то все трудности отпали бы сами собой. В этом случае мы могли бы сказать, что он действительно представляет собой теорему, ошибочно отнесенную Евклидом к числу аксиом. Что именно это и объясняет тот факт, почему среди аксиом он, будучи теоремой, выглядит лишним, странным и неестественным. То есть, факт его неестественного размещения среди постулатов и аксиом. Ситуация, однако же, крайне усугубляется тем, что доказать это никак невозможно. Первые попытки осуществить этакое доказательство, которые, кстати сказать, не привели ни к чему конкретному, были предприняты еще математиками Древней Греции. В дальнейшем, попытки доказать, что V постулат действительного следует из девяти аксиом и четырех остальных постулатов, были столь многочисленны и тщетны, что в 1759 году Д'Аламбер назвал проблему, связанную с невозможностью этого доказательства, «скандалом в области оснований геометрии» (МК136).
Другие из математиков решили пойти совершенно иным путем. Они решили, что ничего на самом-то деле доказывать не надо. Что рассматриваемый постулат – это никакая не теорема, а лишь действительно постулат-аксиома. Та самая аксиома, которая сформулирована в несколько сложном виде. Именно этакий сложный вид и не позволяет увидеть ее очевидность, заставляет нас усомниться в ее достоверности. Одним словом, его следует не доказывать, а лишь заменить. Причем заменить не в том самом смысле, чтобы его заменить на другой постулат. Заменить его форму и содержание. А лишь поменять его форму. Придать ему более очевидную форму. Сделать так, чтобы он стал очевидным настолько, что в достоверность его невозможно было бы усомниться. Чтобы он стал очевидным настолько, что не требовал бы никаких доказательств.
Однако и на этом пути их поджидало явное разочарование. Поскольку достичь такой очевидности не то, чтобы сложно. А, попросту говоря, невозможно никак. Все дело в том, что в изложении Евклида данный его постулат действительно достаточно сложен. Он даже сложен в сегодняшнем, несколько измененном виде. Как известно, в нем нам Евклид пытается донести довольно банальную мысль, что, если сумма двух углов 1 и 2 меньше 180°, то прямые линии «а» и в «в» с необходимостью где-нибудь пересекутся.
И вот здесь возникает вопрос: почему бы нам не изложить эту, скажем, довольно не хитрую мысль в каком-то ином, простом и удобном для нашего понимания виде? К примеру, можно сказать, что, если сумма этих углов равна 180°, то эти прямые суть параллельны. То есть, никогда не встречаются. Или - не пересекаются, будучи продолженными в бесконечность. Или, вообще свести этакий постулат к определению двух параллельных прямых, согласно которому параллельные – это такие прямые, которые, будучи продолжены в бесконечность, ни с той, ни с другой стороны между собой не встречаются. К тому самому определению, которое вообще не требует никаких доказательств. Подобно тому, как не требует никаких доказательств определение линии или разностороннего треугольника. То есть, свести его к двадцать третьему определению Евклида, и устранить, таким образом, из числа постулатов за полной ненадобностью.
Но вот ведь, как говориться, в чем незадача. Формулировка этого постулата в этаком виде (с привлечением идеи параллельности) для Евклида никак невозможно. И у него есть на то все основания. Формулировка V постулата с привлечением идеи о параллельных прямых линиях тесным образом связана с пониманием бесконечности. С идеей бесконечности как бесконечной (неограниченной) пространственной протяженности. Мало того, она не просто находится в отношениях с этой идеей, она, попросту говоря, невозможна вне этого отношения. Ведь что означает, что эти прямые суть параллельны? Это значит буквально одно – что они никогда не встречаются. Но что означает здесь «никогда»? «Никогда» означает здесь то, что они не встречаются, даже будучи продолженными в бесконечность. Даже будучи бесконечными.
Проще говоря, идея параллельности тесным образом связана с идеей бесконечности, и немыслима вне отношения с этой идеей. Соответственно, Формулировка V постулата в качестве постулата о двух параллельных прямых так же немыслима вне отношения с этой идеей. И могла иметь место лишь при наличии этой идеи. Ведь что означает «две параллельные прямые» - это значит буквально «две бесконечные прямые». Но именно это и не устраивало Евклида. Именно эта идея - идея бесконечности. Мало того, чтобы ее избежать, он даже идет на уловку. Выстраивая свое знаменитое двадцать третье (и оно же последнее) определение, которое, как нам известно, есть определение двух параллельных прямых, он подменяет понятие «бесконечность» понятием «неопределенность». И потому в изначальном, то есть, его, евклидовом, изложении оно выглядит следующим образом. Параллельные это такие прямые, которые, будучи продолжены в неопределенность - заметьте не «в бесконечность», а именно «в неопределенность» - ни с той, ни с другой стороны с собой не встречаются.
Так чем же не угодила Евклиду идея о бесконечности, спросите вы? Все дело в том, что с точки зрения древнего грека и, соответственно, самого Евклида, математическое знание всегда получается из эмпирических данных. Математическая точка, прямая, пирамида, квадрат, треугольник, сфера, окружность и прочие математические конструкции – не смотря на то, что все это предельно абстрактные конструкции, они уходят своими корнями в области наших эмпирических наблюдений. Эмпирически наблюдаемых нами фактов. То есть, так или иначе, отражают реалии, наблюдаемой нами действительности. Предметы на достаточно большом от нас удалении выглядят точкой. Луч света идет по прямой. В реальности нет недостатка в предметах, которые обладают, к примеру, сферической формой. Их можно встретить буквально повсюду. Опять же Солнце, Луна, планета Земля. Чего, конечно, нельзя сказать о предметах, которые обладают, к примеру, формою пирамиды. Но они так же встречаются. И пусть не в естественном виде, пусть в искусственном виде, но все же встречаются.
И совсем другое дело, если мы говорим о бесконечной прямой линии. Понятно, что эта конструкция не может иметь реального своего приложения среди реалий той самой действительности, которую мы наблюдаем, где каждая вещь или каждый живой организм всегда ограничен. Имеет границу. То есть, конечен. Таким образом, можно сказать, что идея бесконечности – это такая идея, которая явно выходит за пределы возможного опыта. Или, проще сказать, любое наше суждение о бесконечной прямой линии не может быть подтверждено нашим чувственным опытом.
Здесь можно, конечно же, возразить. Сказать, например, что идея о двух параллельных прямых – это как раз тот самый ментальный конструкт, который имеет конкретный предмет своего приложения среди реалий нашей действительности. Мало того, таких предметов достаточно много. Мир эмпирически наблюдаемых нами фактов полон таких примеров. В своей повседневной, обыденной жизни мы видим их постоянно. Как говориться, всегда и везде. Параллельно натянутые нити. Границы сельскохозяйственных угодий, выделенных в форме квадрата или прямоугольника. Опять же лучи уходящего солнца, идущие по непересекающимся траекториям. Вот они, эти примеры. И это действительно вроде бы так. Однако, здесь нужно всегда понимать, что параллельные прямые линии – это всегда бесконечные линии. Либо – те линии, которые можно всегда продлить в бесконечность. Что параллельность всегда влечет за собой бесконечность. И, если эти прямые линии не пересекаются на обозримом нами пространстве, то это вовсе не значит, что они не пересекутся где-нибудь там, далеко за его пределами, будучи продолженными в бесконечность.
Таким образом, можно сказать, что формулировка V постулата в качестве постулата о двух параллельных прямых, то есть, в том самом виде, в котором она была обременена присутствием в ней бесконечности – не устраивала Евклида по одной лишь причине. По причине того, что в этаком виде, он, постулат, попросту не попадал под представление об аксиоме. Поскольку, согласно определению аксиомы, это есть утверждение, в справедливости содержания которого нельзя усомниться. И опять же нельзя усомниться по той лишь причине, что аксиома своим содержанием должна отражать реальное положение вещей. Должна отражать реалии, наблюдаемой нами действительности. Предметами приложения аксиомы должны быть полностью очевидные вещи. То есть, вещи, которые мы постоянно встречаем в своей повседневной, обыденной жизни. В реальности эмпирически наблюдаемых нами же фактов. В то время как бесконечность не может являться подобным предметом. Она, как предмет, не может быть в мире, где каждый предмет всегда ограничен. Имеет границу. То есть, имеет конечность - конечен. Ее не может быть в мире конечных предметов. По этой опять же причине, любое суждение о бесконечной прямой линии – или каком-то ином бесконечном предмете - не может быть подтверждено нашим чувственном опытом.
И здесь получается вот ведь какая совсем нехорошая вещь. Получается так, что его, постулат, вообще нельзя доказать. Его нельзя доказать в каком бы то ни было виде. Его вообще нельзя доказать, исходя из числа оставшихся четырех постулатов и девяти аксиом.
Почему, спросите вы. Ну, здесь всегда нужно помнить о том, что, не смотря на то, в каком качестве или виде излагается V постулат Евклида: в качестве постулата о двух параллельных прямых, либо в виде постулата о двух пересекающихся прямых линиях - это есть один и тот же постулат. И если какое-то выражение постулата обременено присутствием в нем бесконечности (наличием в нем идеи бесконечности), то это вовсе не значит, что другое его выражение не будет обременено этим же самым присутствием. Это значит, что любое иное его выражение будет обременено точно таким же присутствием. Пусть в неявном и скрытом виде, но обязательно будет. Эту же самую мысль, можно выразить несколько по-другому, иначе. А именно: если этакий постулат в каком-то одном своем выражении будет обременен присутствием в нем идеи о бесконечности, то он будет обременен этим же самым присутствием в любом другом своем виде. В любом ином своем выражении. В любой иной своей формулировке. В любой иной своей интерпретации.
Далее можно сказать, что, поскольку идея о бесконечности не может иметь предмета собственного приложения среди эмпирически наблюдаемых нами, конечных предметов, то есть не может иметь своего приложения в границах возможного нашего опыта - любое выражение V постулата Евклида (поскольку оно обременено присутствием этой идеи) так же не будет иметь своего приложения. По крайней мере, в этих же самых границах. Таким образом, можно сказать, что ни одно из многочисленных выражений V постулата Евклида – не соответствует эмпирически наблюдаемым нами фактам. То есть, не может быть подтверждено нашим чувственным опытом.
Далее, поскольку любая из аксиом имеет предмет своего приложения среди эмпирически наблюдаемых фактов, а V Евклидовый постулат – в любом своем выражении - не может иметь такого предмета, то возникает резонный вопрос. Как можно его доказать, исходя из числа аксиом? А точнее сказать, исходя из оставшихся четырех постулатов и девяти аксиом? Ведь, как уже только что отмечалось, предметами приложения аксиомы должны быть полностью очевидные вещи. То есть, вещи, которые мы постоянно встречаем среди эмпирически наблюдаемых нами же фактов. Они, аксиомы, должны уходить своими корнями в области наших эмпирических наблюдений. Именно это и обеспечивает им полную достоверность, в которую невозможно никак усомниться.
Иными словами, как можно, исходя только из одного чувственного опыта, доказать то, что лежит далеко за его пределами? Очевидно – никак.
Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 73 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |