Читайте также:
|
Неевклидовы геометрии.
Неевклидова геометрия Гаусса – Лобачевского – Бояи.
Как уже было отмечено выше, на протяжении более двух тысячелетий V постулат Евклида привлекает внимание разного рода математиков по причине своей необычности и нестандартности. Именно эта необычность и не позволяет его отнести к числу остальных постулатов и аксиом. Необычность и нестандартность его заключается в том, что он не имеет вида обычной аксиомы. Почему это так, тому есть два объяснения. Две, так сказать, основных точки зрения. Либо V постулат Евклида – это вовсе не аксиома, а теорема. Именно это и отличает его от остального числа аксиом. Либо все-таки аксиома, но сформулированная именно в необычном и не стандартном для аксиом виде.
Иными словами:
- либо V постулат Евклида есть теорема, которую можно доказать, исходя из оставшихся четырех постулатов и девяти аксиом. Как не раз уже отмечалось, всякое математическое доказательство, с точки зрения древнего грека, это есть вывод частной теоремы из общих аксиом в ходе осуществления дедуктивного умозаключения. И потому такая точка зрения предполагала возможность построения дедуктивного умозаключения-доказательства, где в качестве двух исходных посылок выступали бы постулаты и аксиомы из четырех оставшихся постулатов и девяти Евклидовых аксиом. А в качестве вывода такого дедуктивного умозаключения выступал бы V постулат.
- либо V постулат Евклида - никакая не теорема, а лишь действительно постулат-аксиома, которая сформулирована в несколько сложном виде. Как не раз уже отмечалось, с точки зрения древнего грека, аксиома есть некое общее утверждение, которое столь очевидно, что в справедливости его невозможно усомниться, и потому не требующее никаких доказательств. И потому все наши сомнения по поводу того, относить ли этакий постулат к числу аксиом – они вполне объяснимы. Они объяснимы наличием этакой сложности. Именно этакий сложный вид и не позволяет увидеть его очевидность, заставляет нас усомниться в его достоверности и отнести, в конечном итоге, к числу аксиом. И потому его следует не доказывать, а лишь изменить. Придать ему более очевидную форму. Сделать так, чтобы он стал очевидным настолько, что в достоверность его невозможно было бы усомниться. Чтобы он стал очевидным настолько, что не требовал бы никаких доказательств.
В дальнейшем были предприняты разного рода попытки, с одной стороны, доказать, что V постулат действительного следует из девяти аксиом и четырех остальных постулатов, а, с другой стороны, придать ему вид аксиомы. Как уже отметалось, такие попытки были столь многочисленны и тщетны, что в 1759 году Д'Аламбер назвал проблему, связанную с невозможностью их реализации, «скандалом в области оснований геометрии».
Попытку придать ему вид аксиомы предпринимал, например, в XI веке Омар Хайям. В его формулировке V постулат выглядел следующим образом: две лежащие в одной плоскости и сходящиеся прямые - пересекаются и не могут расходиться в направлении схождения. С помощью этакой формулировки Хайям доказывает, что в четырехугольнике ABCD, в котором углы А и В – прямые и стороны АС, ВD равны, углы С и D так же прямые. А из этого доказательства он выводит V постулат в своем изначальном виде.
Но самой, пожалуй, успешной попыткой придать V постулату вид аксиомы – является вариант этого постулата, предложенный Джоном Плейфером в 1795 году. Тот самый вариант, который был уже нами изложен несколько выше. В современной интерпретации он называется аксиомой параллельности Евклида и выглядит следующим образом: через точку P, находящейся вне прямой L, в плоскости, проходящей через P и L, можно провести лишь одну прямую, не пересекающую L.
Или: через точку, находящуюся вне прямой, можно провести только одну прямую, параллельную (не пересекающуюся с) данной прямой и находящуюся с ней в одной плоскости.
Формулировка V постулата Евклида Джоном Плейфером с привлечением идеи параллельности на первый взгляд казалась намного проще изначальной его формулировки. Но при более внимательном рассмотрении оказывалась не более удовлетворительной, поскольку, как уже отмечалось, идея параллельности тесным образом связана с пониманием бесконечности. Параллельность, иными словами, всегда влечет за собой бесконечность. Такая формулировка предполагала не какую-то ограниченную плоскость, на которой эти прямые не пересекаются. А бесконечную плоскость, на которой должны находиться эти бесконечные прямые линии. Ведь параллельные прямые линии – это такие прямые, которые никогда не встречаются. Именно никогда. То есть, даже будучи продолженными в бесконечность. Даже будучи бесконечными. И потому «две параллельные прямые» - это всегда «две бесконечные прямые».
Плоскость, на которой должны находиться эти две параллельные и потому бесконечные прямые, должно быть, следовательно, то же бесконечным, поскольку ограниченная плоскость не несет никакой особой гарантии, что эти линии не пересекутся. Где-нибудь там, далеко за его пределами. То есть, если эти линии не пересекаются на ограниченной плоскости, то это вовсе не значит, что они не пересекутся где-нибудь там, далеко за ее пределами, будучи продолженными в бесконечность.
Другие формулировки V постулата Евклида, которые не содержали прямого упоминания о «бесконечности» — например, формулировка, связанная с существованием двух подобных, но не равных треугольников, — были слишком сложными. И потому не могли претендовать на роль аксиом. В силу своей сложности, они не смогли придать V постулату столь очевидный вид, чтобы он не требовал бы никаких доказательств.
Одновременно были предприняты попытки решить проблему, связанную с V постулатом Евклида, доказав его в качестве теоремы, исходя из остальных четырех постулатов и девяти аксиом. Один из способов доказательства V постулата сводился к тому, чтобы заменить его на его же собственное отрицание (или каким-либо утверждением, эквивалентным отрицанию). И вывести из этого отрицания теорему, которая бы противоречила остальным четырем постулатам и девяти аксиомам Евклида. Либо противоречила какой-то одной из тех теорем, которые выводились из остальных евклидовых постулатов и аксиом. Возникшее противоречие говорило бы о том, что утверждение, выстроенное на отрицании V постулата Евклила – ложно. Является ложным в том самом смысле, что никоим образом не вытекает из этаких аксиом. Тогда как сам V постулат является истинным и действительно вытекает из остальных постулатов и аксиом.
Наиболее ярким представителем такого рода решения проблемы стал Джироламо Саккери, священник, член ордена иезуитов и профессор университета в Павии. В качестве исходной позиции для своих рассуждений он выбрал V постулат Евклида, в том самом виде, в котором его сформулировал несколько позже Джон Плейфер. То есть, в форме аксиомы параллельности (о параллельных прямых линиях). Затем Саккери выстроил его отрицание, в качестве которого он использовал утверждение, что через точку P, лежащую вне прямой линии L, можно провести, по крайней мере, две прямые p и q, которые, даже будучи бесконечными, не пересекающиеся с прямой L.
Исходя из выстроенного им отрицания V постулата, Саккери вывел много интересных утверждений, пока не дошел до теоремы, показавшейся ему настолько странной, что он счел ее противоречащей остальным четырем постулатам и девяти аксиомам.
Несколько позже Саккери выстроил отрицание V постулата в форме утверждения, согласно которому через точку P вне прямой L не проходит ни одна прямая, пересекающиеся с этой прямой L. Из этого отрицания он вывел теорему, противоречащую, как ему показалось, остальным четырем постулатам и девяти аксиомам Евклида.
Решив, что ему удалось тем самым доказать выводимость V постулата Евклида из остальных аксиом, в 1733 году Саккери выпустил книгу под многозначительным названием «Евклид, избавленный от всяких пятен, или опыт, устанавливающий самые первые принципы универсальной геометрии». Однако впоследствии стало понятно, что в действительности Саккери не пришел ни к какому противоречию, и что, следовательно, проблема, связанная с V постулатом Евклида остается неразрешенной.
В своей докторской диссертации, защищенной в 1763 году Георг Клюгель, ставший впоследствии профессором университета в Хельмштадте, впервые в явном виде высказал соображение относительно того, что весомость аксиом определяется их соответствием эмпирически наблюдаемым нами фактам. А не самоочевидностью. Из этого, в частности, следовало, что V постулат Евклида, как в своем изначальном виде, так и в форме аксиомы о параллельных прямых линиях – основан на нашем чувственном опыте. То есть, соответствует и вытекает из наших эмпирических наблюдений. В том самом случае, если, конечно, является аксиомой-постулатом. Или в том самом случае, если является теоремой, непосредственно выводимой из аксиом. Помимо этого Клюгель высказал предположение, что Саккери пришел не к противоречию, а лишь к результатам, поразившим его своей необычностью.
Идеи Иоганна Генриха Ламберта, развитые им в сочинении «теория параллельных линий», написанном в 1766 году и опубликованном только 1786 году, спустя девять лет после его смерти, - очень близко примыкают к идеям Саккери. А именно к идее, доказать V постулат Евклида в качестве теоремы, заменив его каким-либо утверждением, эквивалентным его отрицанию, которое бы противоречило остальным четырем постулатам и девяти аксиомам Евклида. В качестве таких утверждений, эквивалентных отрицанию V постулата Ламберт использовал утверждения Саккери.
Подобно Саккери, он обнаружил, что утверждение, согласно которому через точку P вне прямой линии L не проходит ни одна прямая, пересекающаяся с этой прямой – приводит к противоречию с евклидовыми постулатами и аксиомами. Чего, с точки зрения Ламберта, нельзя было сказать о втором утверждении Саккери, согласно которому через точку P проходят, по крайней мере, две прямые линии, параллельные прямой L. Данное утверждение, выступающее в форме эквивалента отрицания V постулата, сформулированного, в свою очередь, в качестве аксиомы о параллельных прямых линиях – с точки зрения Ламбера, ни к какому противоречию не приводила.
Однако самая основная заслуга Ламберта заключалась именно в том, что он впервые выдвинул предположение, согласно которому V постулат Евклида, в принципе, невозможно вывести из остальных его постулатов и аксиом. То есть, в принципе, невозможно доказать его в качестве теоремы, исходя из остальных четырех постулатов и девяти аксиом. Но из этого следовал вывод относительно полной его независимости. Что, таким образом, предполагало возможность существования новой, логически непротиворечивой геометрии, которая бы выстраивалась и, следовательно, содержала в себе - все те же евклидовы постулаты и аксиомы, за исключением одного. А именно - V постулата, который можно было бы заменить неким утверждением, альтернативным ему. Например, его прямым отрицанием. Либо утверждением, которое эквивалентно его отрицанию. То есть, другими словами, предполагало возможность существования логически непротиворечивой геометрии, в которой V постулат Евклида попросту не выполняется.
Из всего выше сказанного следует, что именно он, Ламберт, первый, кто подошел вплотную к признанию возможности, так называемой, неевклидовой геометрии. Кроме того, он впервые выдвинул предположение, что любой набор гипотез, который не приводит к противоречию, порождает некую новую геометрию. Такую геометрию, в качестве аксиом которой и будут выступать эти гипотезы. Такая геометрия будет логически непротиворечива, хотя и не будет иметь прямого соответствия эмпирически наблюдаемым нами фактам.
Первый, кто занялся разработкой такой, неевклидовой геометрии, был Карл Фридрих Гаусс. В 1813 году он назвал свою геометриюантиевклидовой. А затем – звездной или астральной. Почему именно звездной? По причине того, что хотя такая геометрия не соответствует эмпирически наблюдаемым нами фактам, но, возможно, выполняется на далеких звездах или планетах.
Однако наиболее значительный вклад в разработку неевклидовой геометрии внесли два других математика. Это - Николай Иванович Лобачевский и Януш Бояи.
Тем не менее, все они - и Гаусс, и Лобачевский и Бояи – исходили из того самого, выше изложенного, предположения, согласно которому V постулат Евклида не может быть доказан в качестве теоремы и выведен, в качестве опять-таки теоремы, из остальных его постулатов и аксиом. Что, таким образом, говорило о полной его независимости и, как следствие этого, о его заменимости без оказания каких-либо последствий на остальные постулаты и аксиомы, в силу опять же его независимости от них. А в конечном итоге говорило бы о возможности создания геометрии, где V постулат Евклида был бы заменен. К примеру, его отрицанием.
Таким образом, было вполне допустимо принять противоположное ему утверждение. С тем, чтобы выстроить новую геометрию, где выполнялись бы все постулаты и аксиомы Евклида, независимые от V постулата. Кроме, естественно, самого V постулата Евклида. Все остальные четыре постулата и девять аксиом Евклида, равно как и все теоремы, непосредственно вытекающие из них – являлись бы общими для евклидовой и неевклидовой геометрии. За вычетом V постулата они образовывали бы, так называемую, абсолютную геометрию.
Ограничимся рассмотрением варианта неевклидовой геометрии, предложенного Лобачевским, поскольку все трое сделали по сути одно и то же. На данном рисунке (рис. 4.) изображена прямая AB и точка P вне ее. Напомним, что неевклидову геометрию следует выстраивать путем замены V постулата Евклида его отрицанием. Его отрицающим утверждением (утверждением, которое эквивалентно его отрицанию). С сохранением в неизменном виде всех остальных евклидовых постулатов и аксиом.
Но что может быть отрицанием того утверждения, согласно которому через данную точку можно провести только одну прямую линию? Вероятно, утверждение, согласно которому через данную точку можно провести не только одну прямую линию. А что означает здесь это «не только»? Оно означает, что через данную точку можно провести и две, и три прямых линии. И, соответственно, бесконечное множество этаких линий. То есть, если в соответствии с V постулатом Евклида, через точку P, не лежащую на прямой линии AB можно провести одну и только одну прямую линию, не пересекающуюся с AB, то, в соответствии с постулатом Лобачевского, через точку P можно провести бесконечное число таких прямых линий. Линий, которые будут находиться с прямой AB в одной плоскости.
Но, несмотря на то, что через точку P проходит бесконечное число линий, среди этого бесконечного множество существуют лишь две линии, которые, по Лобачевскому, параллельны прямой AB. На рисунке 4 эти линии изображены как p и q.Соответственно,угол α, который образуется между перпендикуляром PD(опущенным из точки P на прямую линию AB) и каждой из таких прямых параллельных линий p и q – называется, по Лобачевскому, углом параллельности.
Исходя из выстроенной им геометрии (путем замены V постулата его отрицанием) Лобачевский выводит несколько теорем. Если угол α равен 90°, то мы приходим к V постулату Евклида в форме аксиомы о параллельных линиях. Если же угол α острый, то при неограниченном росте величины перпендикуляраPD, он будет убывать от 90° до 0°. То есть, стремиться к нулю.
Из этаких рассуждений следовало несколько выводов, шедших вразрез с евклидовой геометрией и сделанных самим Лобачевского. Несколько положений, отличающих такую геометрию от традиционной геометрии Евклида. Приведем лишь часть из них:
1. В геометрии Лобачевского не существует подобных (то есть, имеющих одинаковые углы), но при этом неравных треугольников (стороны которых пропорциональны, но не равны). Треугольники равны (конгруэнтны, то есть, совпадают при наложении их друг на друга, а, значит, имеют одинаковые стороны и углы), если их углы равны.
2. Сумма углов треугольника всегда меньше 180° и стремится к 180°, если площадь треугольника неограниченно убывает. При этом она может быть сколь угодно близкой к нулю.
3. Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они бесконечно расходятся в обе стороны от него. При этом к любой из них можно восстановить перпендикуляры, которые не достигают другой прямой.
4. Линия равных расстояний от прямой линии не есть прямая линия, а есть особая кривая линия, называемая эквидистантой, или гиперциклом.
5. Длина окружности растет не пропорционально радиусу, а растет быстрее. И потому отношение длинны и радиуса окружности всегда больше 2π. Но будет неуклонно стремиться к 2π, если площадь окружности неограниченно убывает.
6. Чем меньше область в пространстве или на плоскости Лобачевского, тем меньше геометрические соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой геометрии. Можно сказать, что в бесконечно малой области - имеет место геометрия Евклида. Наглядным примером тому является п.2, согласно которому в неевклидовой геометрии сумма углов треугольника всегда меньше 180°, но стремится к 180°, когда площадь треугольника неограниченно убывает. И то же самое можно сказать про окружность в неевклидовой геометрии. Отношение длинны и радиуса такой окружности будет неуклонно стремиться к 2π при уменьшении ее площади. Из этого, кстати, следует вывод, что геометрия Евклида работает только лишь потому, что мы пользуемся относительно малыми размерами. А при увеличении этих размеров евклидова геометрия переходит в неевклидовую. Евклидова геометрия – есть, в этом смысле, «предельный» частный случай неевклидовой геометрии.
Существует распространенное мнение, что Гаусс пытался проверить неевклидову геометрию на ее соответствие с эмпирическими наблюдениями. В частности, то самое ее положение, которое было нами изложено в п.2, и в соответствии с которым сумма углов треугольника должна быть меньше 180°. В течение нескольких лет Гаусс занимался топографической съемкой Ганновера. А в 1827 году в одном из своих трудов воспользовался ее результатами. Он отмечал, что сумма углов треугольника, образованного тремя горными вершинами, Брокеном, Хоэхагеном и Инзельбергом, отклоняется от 180° примерно на 15". Понятно, что этот результат сам по себе ничего не доказывал, поскольку эти 15" легко могли быть результатом погрешности в измерениях. О чем он и сам понимал.
Кроме того, он понимал, что выбранный им треугольник слишком мал для того, чтобы делать какие-то выводы. Поскольку в неевклидовой геометрии уменьшение суммы углов треугольника от 180° прямо пропорционально увеличению площади треугольника. И потому существенное отклонение от 180° можно было бы обнаружить в треугольнике гигантских размеров, какие возможны разве что в астрономии.
Подобно Гауссу, Лобачевский задавался вопросом, насколько такая геометрия соответствует реалиям наблюдаемой нами действительности. Вопросом относительно применимости такой геометрии к физическому пространству. И, хотя первоначально Лобачевский относился к ней к как умозрительной теории, зачастую называя ее «воображаемой геометрией», он был первым, кто открыто стал называть ее не как игру ума. А в конечном итоге стал первым наиболее ярким и последовательным пропагандистом такой геометрии. И, хотя, на первый взгляд, такая геометрия не соответствовала эмпирически наблюдаемым нами фактам, это вовсе не означало, что она не может быть применимой к физическому пространству вообще. Что она не может быть применимой где-то там, далеко за границами нашего чувственного опыта. Эта видимая неприменимость объяснялась, следовательно, нашей же ограниченностью, а, точнее сказать, ограниченностью нашего чувственного восприятия. Подобно Гауссу, Лобачевский считал, что она полностью применима к физическому пространству, если речь идет о гигантских масштабах. О размерах, сравнимых с расстояниями до звезд и далеких галактик.
Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 22 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |