Читайте также:
|
|
Ньютон открыл закон всемирного тяготения. 1687 -”Математические начала натуральной философии”. Изучал флюенты - переменные величины, возникающие во результате непрерывного механического движения. Флюенты зависят от времени. Скорость течения флюенты – производная по времени – флюксия. Скорости и ускореня обознначались хŷż – скорость хўž – ускорение, что затрудняло исчисление. Систему Ньютона не признали в Европе. Ее активно критиковал Беркли.
Лейбниц взял за основу идею Ньютона, но ввел удобные обозначения – dx, du. Он разработал понятие дифференциала, функции, кординаты, алгоритма. Система Лейбница прогрессивна.
Формула Ньютона-Лейбница ∫а f(x)dx= F(x) +c =F(b)-F(a), где с=const, F - первообразная функции. Позволяет находить значения определенных интегралов и рассчитывать площади криволинейных фигур.
Итак, 18 в – время создания дифференциального и интегральног исчисления.Главной проблемой математики является отсутствие четкого определения и логического обоснования бесконечно малой величины, ее связи с производной и приращением функции. В 19в. Бесконечно малая была обоснована на базе теории пределов (Коши, Абель). Производная стала использоваться для обоснования свойств функций.
у'=lim(∆x→0)∆у/∆х - производная данной функции в данной точке - предел отношения приращения функции к приращению оргумента когда приращение оргумента → 0
Механический смысл производной – скорость тела в данный момент времени (путь-функция от времени S=S(t), V=S'(t)).При неравномерном движении за ∆t скорость меняется, получая приращение ∆V. Среднее ускорение за время ∆t – отношение приращения скорости ∆V к приращению времени ∆t аср = ∆V/ ∆t.Ускорение в данный момент времени при ∆t→0: а=lim(∆t→0)∆V/∆t или а=(V(t))'=(S”(t))'=S''(t) Ускорение – вторая производная от пути по времени | ||
Касательная к кривой в точке М – предельное положение ее секущей, когда точка М1 вдоль линии стремится к совпадению с М. Дана кривая. М,М1 е кривая. Через ММ1 проведена секущая, угол ее наклона к ох = φ. Совместим М1 с М. Прямая, идущая через т.М=М1 – касательная. Касательная – единственная прямая с углом наклона к ох= а | ||
Геометрический смысл производной – tg угла наклона касательной к ох. Дано: у=f(x), т. х. Рассмотрим х+ ∆х. МА=∆х, АМ1=∆у. Из ∆ММ1А: tgφ=∆у/ ∆х(тангенс угла наклона секущей ММ1 к ох). Пусть ∆х→0, тогда М1→М, следовательно tg а→ tg φ. tgφ=∆у/ ∆х при ∆х→0 tg φ→tg а. Значит у'=lim(∆x→0)∆у/∆х=tg a Понятие производной позволяет составлять уравнение касательной к данной линии (у=кх+в) | ||
Производной n-го порядка от функции у=f(x) называется производная первого порядка от (n-1)-го порядка от данной функии. Обозначается символом y (n) . y (n) =[y (n-1) ]'
Пример sin x (n)--?
y=sinx (sin)''''=sin x | (sinx)'=cos x | (sin x)''=-sinx x | (sin)'''=-cos x |
1) sin x при n=4к
2)cos x при n=4к+1
Т.о y (n) = 3) – sin x при n=4к+2
4) – cos x при n=4к+3
14. Составлений таблицы производных. Производная от у=х, у=sin x, y=x2. Производная суммы, произведения, дроби. Производная сложной функции.
у'=lim(∆x→0)∆у/∆х - производная данной функции в данной точке - предел отношения приращения функции к приращению оргумента когда приращение оргумента → 0
Алгоритм нахождения производной: 1) х+ ∆х 2) ∆у =f (х+ ∆х) – f(x) 3) ∆у/ ∆х 4) у'=lim(∆x→0)∆у/∆х
Таблица производных
(uk)' = kuk-1*u' | (cosu)'=-sinu*u' | (eu)'=eu*u' | (ctgu)'=-1/sin2u*u' | (lnu)'=1/u*u' | (arccosu)'=-1/√1-u2*u' |
(sinu)'=cosu*u' | (au)'=aulna*u' | (tgu)'=1/cos2u*u' | (logau)'=1/u*logae*u' | (arcsinu)'=1/√1-u2*u' | (arctgu)'=1/1+u2*u' |
Теорема: производная от постоянной = 0 (с'=0)
Дано: у=с Док-ть: у'= о
Док-во: Графиком функции у=с чвляется прямая у=с || ох. По алгоритму 1)х+ ∆х=с 2)∆у =f (х+ ∆х) – f(x)=с-с=0 3) ∆у/∆х =0/ ∆х=0 4) у'=lim(∆x→0)∆у/∆х=lim(∆x→0) 0=0, чтд
Теорема: производная от аргумента = 1 (х'=1)
Дано: у=х Док-ть у'=1
Док-во: Графиком функции у=х является прямая, биссектрисой I к.ч. По алгоритму: 1)х+ ∆х 2)∆у =f (х+ ∆х) – f(x)= х+∆х–х=∆х 3) ∆у/ ∆х=∆х/∆х=1 4) у'=lim(∆x→0)∆у/∆х=lim(∆x→0)1=1, чтд
Теорема: (x2)=2х
Дано: у= x2 Док-ть: у'=2х
До-во. Графиком функции является парабола, «ветви» вверх. По алгоритму:1)х+ ∆х 2) ∆у =f (х+ ∆х) – f(x) =(х+ ∆х)2-х2= х2+2х ∆х + ∆х2 – х2= 2х∆х+ ∆х2 3) ∆у/ ∆х = 2х∆х+ ∆х2 / ∆х = 2х+∆х
4) у'=lim(∆x→0)∆у/∆х = lim(∆x→0) (2х+∆х)=2х
Следовательно (хk)' = kхk-1
Теорема: (sin x)'=cos x
Дано: у = sin x Док-ть: (sinx)' = cos x
Док-во. По алгоритму: 1)х+ ∆х 2)∆у =f (х+ ∆х) – f(x)=sin(х+∆х)–sin x=2sin[(х+ ∆х -x) /2 ]*cos [(х+ ∆х +x) /2] 3) ∆у/ ∆х =2sin ∆х/2 * cos[x+ (∆х /2)] 4) у'=lim(∆x→0)∆у/∆х= [2sin (∆х/2)]/ [2 ∆х \2] * cos [x+ (∆х /2) ] =cos x, тк [ 2 sin (∆х/2)]/ [2 ∆х \2]= 1 и cos [x+ (∆х /2) ] при ∆х→0 стремится к cos x, чтд.
Теорема: производная от суммы = сумме производных ((u+v)' = u' +v')
Дано: u(x), v(x) Док-ть (u+v)' = u' +v'
Док-во. Пусть у=u(x)+v(x), х- точка на ох, в которой u(x) и v(x) имеют производные.
По алгоритму: 1)х+∆х 2) ∆у =f(х+∆х)–f(x)=(u+∆u+v+∆v)-(u+v)=∆u+∆v 3) ∆у/∆х= (∆u+∆v)/∆х=∆u/∆х+∆v/∆х 4) у'=lim(∆x→0)∆у/∆х = lim(∆x→0 (∆u/∆х+∆v/∆х)=lim(∆x→0 (∆u/∆х) + lim(∆x→0 (∆u/∆х)=u'+v' (по условию lim(∆x→0 (∆u/∆х)=u', lim(∆x→0 (∆u/∆х) = v'), чтд.
Теорема: производная от произведения функций (uv)'=u'v+v'u)
Дано: u(x), v(x) Док-ть (uv)' = u'u +v'u
Док-во. Пусть у=u(x)+v(x), х- точка на ох, в которой u(x) и v(x) имеют производные.
По алгоритму: 1)х+∆х 2)∆у=f(х+∆х)–f(x)=(u+∆u)*(v+∆v)-uv=∆uv+∆vu+∆u∆v
3)∆у/∆х=(∆uv+∆vu+∆u∆v)/∆х=∆u/∆х*u+∆v/∆х*v+ ∆u/∆х*∆v
4)у'=lim(∆x→0)∆у/∆х=lim(∆x→0(∆u/∆х*u+∆v/∆х*v+∆u/∆х*∆v)=lim(∆x→0(∆u/∆х*u)+lim(∆x→0(∆u/∆х*v)+lim(∆x→0 (∆u/∆х*∆v) =u'v+v'u+u'*0=u'v+v'u (по условию lim(∆x→0 (∆u/∆х)=u', lim(∆x→0 (∆u/∆х) = v', lim(∆x→0 (∆u/∆х*∆v)= lim(∆x→0 (∆u/∆х)* lim(∆x→0 ∆v=u'*0=0), чтд.
Следствие: постоянный множитель можно вынести за знак производной ((сu)' = c*u')
Док-во: (сu)' = c'u+u'c = u'c.
Теорема: поизводная от частного (u/v)'=(u'v-v'u)/v2
Дано: u(x), v(x) Док-ть (u/v)' = (u'u -v'u)/v2
Док-во. Пусть у=u(x)+v(x), х- точка на ох, в которой u(x) и v(x) имеют производные.
По алгоритму: 1)х+∆х 2)∆у=f(х+∆х)–f(x)=(u+∆u)/(v+∆v)-u/v=(∆uv-∆vu)/(v+∆v)v
3)∆у/∆х=[(∆uv-∆vu)/(v+∆v)v ]/∆х=[(∆u/∆х)v-(∆v∆х)u]/(v+∆v)v
4) у' = lim(∆x→0)∆у/∆х = lim(∆x→0[(∆u/∆х)v-(∆v∆х)u]/(v+∆v)v =lim(∆x→0[(∆u/∆х)v-(∆v∆х)u]/lim(∆x→0(v+∆v)v
= (u'v-v'u)/v2 (по условию lim(∆x→0 (∆u/∆х)=u', lim(∆x→0 (∆u/∆х) = v', lim(∆x→0 (v+∆v)v= v2)
Производная сожной функции у=f[ψ(x)]=y'u*u'x
Дано: y=f(u), u= φ(x), y и u имеют проихводные Док-ть: у=f[ψ(x)]=y'u*u'x
Док-во. Применяя к функции у=f(u) формулу для нахождения приращения функции в данной точке по ее производной и бесконечно малой а (∆у=y'∆х+a*∆х) имеем при ∆u→0 и а→0:
1) ∆у =f (u+ ∆u) – f(u) = fu'∆u+a*∆u 2)∆у/∆х= fu ' *∆u/∆х+ a*∆u/∆х
по условию lim(∆x→0)∆u/∆х=u'x, из существования u'x, следует, что функция u=φ(x) неперерывна, следовательно при ∆х→0 ∆u→0, при ∆u→0 а→0, тогда:
3)y'x=lim(∆x→0)∆у/∆х=lim(∆x→0)(fu ' *∆u/∆х+ a*∆u/∆х)=lim(∆x→0) fu ' *∆u/∆х+lim(∆x→0) a*∆u/∆х)=f'u*u'x=y'u*u'x
Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 29 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |