Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Независимое интегральное исчисление создали Ньютон и Лейбниц.

Читайте также:
  1. Взаимодействие тел. Принцип суперпозиции сил. Законы динамики ньютона.
  2. Взаимодействие тел. Сила. Второй закон Ньютона
  3. Взаимодействие тел. Сила. Масса. Законы Ньютона (1-ый, 2-ой, 3-ий). Сила упругости. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. Вес. Невесомость.
  4. Виды пенсий. Исчисление, назначение и выплата пенсий. Повышение пенсий некоторым категориям пенсионеров.
  5. Вторая научная революция. Ньютон.
  6. Второй закон Ньютона
  7. Вывод из формализма Ньютона
  8. Готфрид Вильгельм Лейбниц.
  9. Гравитационное взаимодействие тел. Закон всемирного тяготения Ньютона. Космические скорости.
  10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Ньютон открыл закон всемирного тяготения. 1687 -”Математические начала натуральной философии”. Изучал флюенты - переменные величины, возникающие во результате непрерывного механического движения. Флюенты зависят от времени. Скорость течения флюенты – производная по времени – флюксия. Скорости и ускореня обознначались хŷż – скорость хўž – ускорение, что затрудняло исчисление. Систему Ньютона не признали в Европе. Ее активно критиковал Беркли.

Лейбниц взял за основу идею Ньютона, но ввел удобные обозначения – dx, du. Он разработал понятие дифференциала, функции, кординаты, алгоритма. Система Лейбница прогрессивна.

Формула Ньютона-Лейбница ∫а f(x)dx= F(x) +c =F(b)-F(a), где с=const, F - первообразная функции. Позволяет находить значения определенных интегралов и рассчитывать площади криволинейных фигур.

Итак, 18 в – время создания дифференциального и интегральног исчисления.Главной проблемой математики является отсутствие четкого определения и логического обоснования бесконечно малой величины, ее связи с производной и приращением функции. В 19в. Бесконечно малая была обоснована на базе теории пределов (Коши, Абель). Производная стала использоваться для обоснования свойств функций.

у'=lim(∆x→0)∆у/∆х - производная данной функции в данной точке - предел отношения приращения функции к приращению оргумента когда приращение оргумента → 0

  Механический смысл производной – скорость тела в данный момент времени (путь-функция от времени S=S(t), V=S'(t)).При неравномерном движении за ∆t скорость меняется, получая приращение ∆V. Среднее ускорение за время ∆t – отношение приращения скорости ∆V к приращению времени ∆t аср = ∆V/ ∆t.Ускорение в данный момент времени при ∆t→0: а=lim(∆t→0)∆V/∆t или а=(V(t))'=(S”(t))'=S''(t) Ускорение – вторая производная от пути по времени
  Касательная к кривой в точке М – предельное положение ее секущей, когда точка М1 вдоль линии стремится к совпадению с М. Дана кривая. М,М1 е кривая. Через ММ1 проведена секущая, угол ее наклона к ох = φ. Совместим М1 с М. Прямая, идущая через т.М=М1 – касательная. Касательная – единственная прямая с углом наклона к ох= а
  Геометрический смысл производной – tg угла наклона касательной к ох. Дано: у=f(x), т. х. Рассмотрим х+ ∆х. МА=∆х, АМ1=∆у. Из ∆ММ1А: tgφ=∆у/ ∆х(тангенс угла наклона секущей ММ1 к ох). Пусть ∆х→0, тогда М1→М, следовательно tg а→ tg φ. tgφ=∆у/ ∆х при ∆х→0 tg φ→tg а. Значит у'=lim(∆x→0)∆у/∆х=tg a Понятие производной позволяет составлять уравнение касательной к данной линии (у=кх+в)
     

Производной n-го порядка от функции у=f(x) называется производная первого порядка от (n-1)-го порядка от данной функии. Обозначается символом y (n) . y (n) =[y (n-1) ]'

Пример sin x (n)--?

y=sinx (sin)''''=sin x (sinx)'=cos x (sin x)''=-sinx x (sin)'''=-cos x

1) sin x при n=4к

2)cos x при n=4к+1

Т.о y (n) = 3) – sin x при n=4к+2

4) – cos x при n=4к+3

14. Составлений таблицы производных. Производная от у=х, у=sin x, y=x2. Производная суммы, произведения, дроби. Производная сложной функции.

у'=lim(∆x→0)∆у/∆х - производная данной функции в данной точке - предел отношения приращения функции к приращению оргумента когда приращение оргумента → 0

Алгоритм нахождения производной: 1) х+ ∆х 2) ∆у =f (х+ ∆х) – f(x) 3) ∆у/ ∆х 4) у'=lim(∆x→0)∆у/∆х

Таблица производных

(uk)' = kuk-1*u' (cosu)'=-sinu*u' (eu)'=eu*u' (ctgu)'=-1/sin2u*u' (lnu)'=1/u*u' (arccosu)'=-1/√1-u2*u'
(sinu)'=cosu*u' (au)'=aulna*u' (tgu)'=1/cos2u*u' (logau)'=1/u*logae*u' (arcsinu)'=1/√1-u2*u' (arctgu)'=1/1+u2*u'

Теорема: производная от постоянной = 0 (с'=0)

Дано: у=с Док-ть: у'= о

Док-во: Графиком функции у=с чвляется прямая у=с || ох. По алгоритму 1)х+ ∆х=с 2)∆у =f (х+ ∆х) – f(x)=с-с=0 3) ∆у/∆х =0/ ∆х=0 4) у'=lim(∆x→0)∆у/∆х=lim(∆x→0) 0=0, чтд

Теорема: производная от аргумента = 1 (х'=1)

Дано: у=х Док-ть у'=1

Док-во: Графиком функции у=х является прямая, биссектрисой I к.ч. По алгоритму: 1)х+ ∆х 2)∆у =f (х+ ∆х) – f(x)= х+∆х–х=∆х 3) ∆у/ ∆х=∆х/∆х=1 4) у'=lim(∆x→0)∆у/∆х=lim(∆x→0)1=1, чтд

Теорема: (x2)=2х

Дано: у= x2 Док-ть: у'=2х

До-во. Графиком функции является парабола, «ветви» вверх. По алгоритму:1)х+ ∆х 2) ∆у =f (х+ ∆х) – f(x) =(х+ ∆х)22= х2+2х ∆х + ∆х2 – х2= 2х∆х+ ∆х2 3) ∆у/ ∆х = 2х∆х+ ∆х2 / ∆х = 2х+∆х

4) у'=lim(∆x→0)∆у/∆х = lim(∆x→0) (2х+∆х)=2х

Следовательно (хk)' = kхk-1

Теорема: (sin x)'=cos x

Дано: у = sin x Док-ть: (sinx)' = cos x

Док-во. По алгоритму: 1)х+ ∆х 2)∆у =f (х+ ∆х) – f(x)=sin(х+∆х)–sin x=2sin[(х+ ∆х -x) /2 ]*cos [(х+ ∆х +x) /2] 3) ∆у/ ∆х =2sin ∆х/2 * cos[x+ (∆х /2)] 4) у'=lim(∆x→0)∆у/∆х= [2sin (∆х/2)]/ [2 ∆х \2] * cos [x+ (∆х /2) ] =cos x, тк [ 2 sin (∆х/2)]/ [2 ∆х \2]= 1 и cos [x+ (∆х /2) ] при ∆х→0 стремится к cos x, чтд.

Теорема: производная от суммы = сумме производных ((u+v)' = u' +v')

Дано: u(x), v(x) Док-ть (u+v)' = u' +v'

Док-во. Пусть у=u(x)+v(x), х- точка на ох, в которой u(x) и v(x) имеют производные.

По алгоритму: 1)х+∆х 2) ∆у =f(х+∆х)–f(x)=(u+∆u+v+∆v)-(u+v)=∆u+∆v 3) ∆у/∆х= (∆u+∆v)/∆х=∆u/∆х+∆v/∆х 4) у'=lim(∆x→0)∆у/∆х = lim(∆x→0 (∆u/∆х+∆v/∆х)=lim(∆x→0 (∆u/∆х) + lim(∆x→0 (∆u/∆х)=u'+v' (по условию lim(∆x→0 (∆u/∆х)=u', lim(∆x→0 (∆u/∆х) = v'), чтд.

Теорема: производная от произведения функций (uv)'=u'v+v'u)

Дано: u(x), v(x) Док-ть (uv)' = u'u +v'u

Док-во. Пусть у=u(x)+v(x), х- точка на ох, в которой u(x) и v(x) имеют производные.

По алгоритму: 1)х+∆х 2)∆у=f(х+∆х)–f(x)=(u+∆u)*(v+∆v)-uv=∆uv+∆vu+∆u∆v

3)∆у/∆х=(∆uv+∆vu+∆u∆v)/∆х=∆u/∆х*u+∆v/∆х*v+ ∆u/∆х*∆v

4)у'=lim(∆x→0)∆у/∆х=lim(∆x→0(∆u/∆х*u+∆v/∆х*v+∆u/∆х*∆v)=lim(∆x→0(∆u/∆х*u)+lim(∆x→0(∆u/∆х*v)+lim(∆x→0 (∆u/∆х*∆v) =u'v+v'u+u'*0=u'v+v'u (по условию lim(∆x→0 (∆u/∆х)=u', lim(∆x→0 (∆u/∆х) = v', lim(∆x→0 (∆u/∆х*∆v)= lim(∆x→0 (∆u/∆х)* lim(∆x→0 ∆v=u'*0=0), чтд.

Следствие: постоянный множитель можно вынести за знак производной ((сu)' = c*u')

Док-во: (сu)' = c'u+u'c = u'c.

Теорема: поизводная от частного (u/v)'=(u'v-v'u)/v2

Дано: u(x), v(x) Док-ть (u/v)' = (u'u -v'u)/v2

Док-во. Пусть у=u(x)+v(x), х- точка на ох, в которой u(x) и v(x) имеют производные.

По алгоритму: 1)х+∆х 2)∆у=f(х+∆х)–f(x)=(u+∆u)/(v+∆v)-u/v=(∆uv-∆vu)/(v+∆v)v

3)∆у/∆х=[(∆uv-∆vu)/(v+∆v)v ]/∆х=[(∆u/∆х)v-(∆v∆х)u]/(v+∆v)v

4) у' = lim(∆x→0)∆у/∆х = lim(∆x→0[(∆u/∆х)v-(∆v∆х)u]/(v+∆v)v =lim(∆x→0[(∆u/∆х)v-(∆v∆х)u]/lim(∆x→0(v+∆v)v

= (u'v-v'u)/v2 (по условию lim(∆x→0 (∆u/∆х)=u', lim(∆x→0 (∆u/∆х) = v', lim(∆x→0 (v+∆v)v= v2)

Производная сожной функции у=f[ψ(x)]=y'u*u'x

Дано: y=f(u), u= φ(x), y и u имеют проихводные Док-ть: у=f[ψ(x)]=y'u*u'x

Док-во. Применяя к функции у=f(u) формулу для нахождения приращения функции в данной точке по ее производной и бесконечно малой а (∆у=y'∆х+a*∆х) имеем при ∆u→0 и а→0:

1) ∆у =f (u+ ∆u) – f(u) = fu'∆u+a*∆u 2)∆у/∆х= fu ' *∆u/∆х+ a*∆u/∆х

по условию lim(∆x→0)∆u/∆х=u'x, из существования u'x, следует, что функция u=φ(x) неперерывна, следовательно при ∆х→0 ∆u→0, при ∆u→0 а→0, тогда:

3)y'x=lim(∆x→0)∆у/∆х=lim(∆x→0)(fu ' *∆u/∆х+ a*∆u/∆х)=lim(∆x→0) fu ' *∆u/∆х+lim(∆x→0) a*∆u/∆х)=f'u*u'x=y'u*u'x




Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 29 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.008 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав