Читайте также:
|
|
Производная суммы (разности) функций
Производная алгебраической суммы функций выражается следующей теоремой.
Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:
Производная конечной алгебраической суммы дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слагаемых. Например,
Производная произведения функций.
Пусть u (x) и u (x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u (x)v(x) также дифференцируемо и
Производная произведения двух функций не равана произведению производных этих функций.
Производная частного функций.
Пусть u (x) и u (x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v (x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле
5. Экстремум функции, признаки экстремума. Стационарные точки.
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ — термин, объединяющий понятия максимума и минимума функции. На простейшем примере функции одной переменной можно пояснить эти исключительно важные для экономики математические понятия.
В точках максимума (минимума) значение функции больше (соответственно меньше) всех соседних ее значений.
Для непрерывной функции экстремум может иметь место только в тех точках, где производная или равна нулю (точки A, B), или не существует (в частности, обращается в бесконечность — точки C и D).
Стационарные точки непрерывно дифференцируемой функции (отображения) называется такая точка , в которой дифференциал является вырожденным линейным преобразованием соответствующих касательных пространств в точках и , то есть размерность образа меньше . В координатной записи это означает что ранг матрицы Якоби функции , составленной из всех частных производных меньше своего максимально возможного значения .
Пространства и в этом определении могут быть заменены на многообразия и таких же размерностей.
6. Использование второй производной для диагностики вида экстремума (на примере).
Пусть функция f (х) имеет в точке и ее окрестности непрерывные первую и вторую производные, причем .
Тогда функция f (х) достигает в точке минимума (максимума), если (соответственно ).
Эта теорема позволяет сформулировать правило исследования функции на экстремум с помощью второй производной. По сравнению с предыдущим правилом меняется лишь п. 3, который заменяется на следующий: находят вторую производную f " (х), вычисляют ее значения для каждого из корней уравнения f ′ (х) = 0 и согласно теореме делают заключение об экстремуме.
Заметим, что пользоваться вторым правилом обычно проще, чем первым. Однако если вторая производная при значении, равном корню первой производной, обращается в нуль, то используют первое правило отыскания экстремума.
Пример. Исследуем на экстремум функцию . Имеем . В примере 2 предыдущего пункта мы нашли корни уравнения
В точке функция f (х) имеет максимум, так как , а в точке — минимум, так как `(6, 0))" align="center" border="0">.
7. Наибольше и наименьшее значение функции
Наибольшим значением функции y = f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .
Наименьшим значением функции y = f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .
Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе .
Стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.
Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 41 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Показатели качества продукции. | | | БИЛЕТ 1 |