Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Приложения производной к исследованию функций.

Функция y=f(x) называется возрастающей в промежутке a<x<b, если для любых ,принадлежащих этому промежутку и таких, что , имеет место неравенство .

Функция y=f(x) называется убывающей в промежутке u<x<b, если для любых , имеет место неравенство .

Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, - промежутками монотонности.

Возрастание и убывание функции y=f(x) характеризуется знаком ее производной: если в некотором промежутке , то функция возрастает в этом промежутке; если же , то функция убывает в этом промежутке.

Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью первой производной.

Найти производную f '(x).

Найти критические точки функции y=f(x), т.е. точки, в которых f '(x) обращается в нуль или терпит разрыв.

Исследовать знак производной f '(x) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). При этом критическая точка есть точка минимума, если она отделяет промежуток, в котором f '(x) < 0, от промежутка, в котором f '(x) > 0, и точка максимума – в противном случае. Если же в соседних промежутках, разделенной критической точкой функция экстремума не имеет.

Вычислить значения функции в точках экстремума.

Исследовать на экстремум следующие функции:

ПРИМЕР:

Решение: Находим . Полагая , получим единственную критическую точку ч=2. Дальнейшие рассуждения представлены в таблице:

x	-	5/2	2<x<
f '(x)	-	0	+
f(x)		Максимум	↗

		А (2; -4)

График функции есть

парабола, изображенная на рисунке. Точка минимум (2;-4) является вершиной параболы.

Правила нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью второй производной.

Найти производную f '(x).

Найти критические точки данной функции, в которых

f '(x)=0.

Найти вторую производную f ''(x).

Исследовать знак второй производной в каждой из критических точек. Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительный, то – минимум. Если же

вторая производная ровна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.

Вычислить значения функции в точках экстремума.

ПРИМЕР:

Исследовать на экстремум с помощью второй производной функции:

.

Решение: 1) Находим производную: . Решая уравнение , получим критическую точку х=1. Найдем

теперь вторую производную: . Так как вторая производная в критической точке положительна, то при х=1 функция имеет минимум: .

2) Находим . Найдем теперь . Определим знак второй производной в критических точках. Так как , то при х=2 функция имеет максимум; так как , то при х=4 функция имеет минимум. Вычислим значения функции в точках экстремума: .